Límite de una sucesión (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 16:38 3 jun 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Apéndice)
← Ir a diferencia anterior
Revisión de 16:39 3 jun 2017
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Concepto de límite de una sucesión)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 145: Línea 145:
}} }}
{{p}} {{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Límite de una sucesión|enunciado=
 +
{{Video_enlace_clasematicas {{Video_enlace_clasematicas
|titulo1=Límite de una sucesión de números reales |titulo1=Límite de una sucesión de números reales
Línea 156: Línea 158:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JUcwCWBYHjQ&t=707s&list=PLZNmE9BEzVIkITepuGQcKXJ-FuD5p7cP5&index=6 |url1=https://www.youtube.com/watch?v=JUcwCWBYHjQ&t=707s&list=PLZNmE9BEzVIkITepuGQcKXJ-FuD5p7cP5&index=6
|sinopsis=Tutorial en el que se explica el concepto matemático del infinito, así como las operaciones aritméticas que se pueden hacer con él y aquellas que no, de las cuales surgen algunas de las indeterminaciones que aparecerán en el cálculo de límites. |sinopsis=Tutorial en el que se explica el concepto matemático del infinito, así como las operaciones aritméticas que se pueden hacer con él y aquellas que no, de las cuales surgen algunas de las indeterminaciones que aparecerán en el cálculo de límites.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Sucesiones de números reales
 +|duracion=17´44"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/01-sucesion-de-numeros-reales#.VCbpFPl_u2E
 +|sinopsis=
 +*Concepto de sucesión de números reales. Ejemplos.
 +*Introducción de la notación necesaria para el comprender el concepto de límite de una sucesión de números reales.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Visualización de una sucesión de números reales
 +|duracion=11´36"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/02-visualizacion-de-una-sucesion-de-numeros-reales#.VCbpSvl_u2E
 +|sinopsis=*Representación gráfica de una sucesión de números reales.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Límite de una sucesión de números reales
 +|duracion=11´15"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/03-limite-de-una-sucesion-de-numeros-reales#.VCbpmPl_u2E
 +|sinopsis=*Definición rigurosa de límite finito de una sucesión de números reales. (sucesión convergente)
 +*Ejemplos.
 +*Visualización del concepto de límite.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio
 +|duracion=10´35"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/0301-ejercicio-3#.VCbrTPl_u2E
 +|sinopsis=*Demostrar que <math>lim \ \frac{5n-3}{2n+1}=\frac{5}{2}</math> usando la definición rigurosa de límite.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Límites infinitos
 +|duracion=21´27"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/04-limites-infinitos#.VCbsn_l_u2E
 +|sinopsis=*Definición rigurosa de límite infinito (sucesión divergente)
 +*Ejemplos.
 +*Visualización del concepto de límite infinito.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Propiedades aritméticas de los límites
 +|duracion=14´20"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/05-propiedades-aritmeticas-de-los-limites#.VCbs1fl_u2E
 +|sinopsis=*Propiedades aritméticas de los límites (límite de una suma, de un producto, de un cociente, de una potencia, etc.)
 +*Ejemplos.
 +*Indeterminaciones matemáticas.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Indeterminaciones matemáticas
 +|duracion=8´10"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/06-indeterminaciones-matematicas#.VCbtBfl_u2E
 +|sinopsis=*Las diversas indeterminaciones matemáticas.
 +
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Infinitos potenciales
 +|duracion=6´54"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/07-infinitos-potenciales#.VCbtP_l_u2E
 +|sinopsis=*Definición de infinito potencial de grado k.
 +*Ejemplos.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Cociente de infinitos potenciales
 +|duracion=9´09"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/08-cociente-de-infinitos-potenciales#.VCbtaPl_u2E
 +|sinopsis=*Cociente de infinitos potenciales.
 +*Ejemplos.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Otros infinitos
 +|duracion=13´01"
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/sucesiones-y-series/01-sucesiones/09-otros-infinitos#.VCbtqPl_u2E
 +|sinopsis=*Definición de infinito de orden superior, inferior o igual a otro infinito.
 +*Ejemplos.
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}

Revisión de 16:39 3 jun 2017

Tabla de contenidos

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.

(pág. 61)

Representación gráfica de una sucesión

Para representar gráficamente una sucesión a_n\;, construiremos una tabla donde anotaremos el valor de a_n\; para distintos valores de n.

Las parejas (n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión


Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}

b) a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n\;

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión


(Pág. 61)

1, 2, 3

(pág. 62)

Concepto de límite de una sucesión

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; podemos conseguir que se aproximen a un número l \in  \mathbb{R}, tanto como queramos (a menos de una distancia \varepsilon \; tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a l\; o que su límite es l\;. Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a +\infty \; o que su límite es +\infty \;. Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a -\infty \; o que su límite es -\infty \;. Diremos que la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k

ejercicio

Teorema


Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:

  • Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
  • Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.

(pág. 63)

Sucesiones oscilantes

Una sucesión diremos que es oscilante si no es convergente ni divergente, es decir, son sucesiones que no tienen límite (ni finito, ni infinito)

ejercicio

Ejemplo: Sucesión oscilante


La siguiente sucesión no tiene límite

a_n=(-1)^{n+1} \cdot n

Sucesiones alternadas

Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo

(Pág. 63)

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión


1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) a_n=3+\frac{10}{n}
b) b_n=\frac{n^2-n}{2}


2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) a_n=(-3)^n \;
b) c_n=\frac{(-1)^n}{n}

ejercicio

Ejercicio: Límite de una sucesión


1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) a_n=n^2\;

b) b_n=\cfrac{7n}{n+1}

c) c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}

d) d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)

e) e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}

f) f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}

g) g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}

h) h_n=\sqrt{4n+5}

i) i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

j) j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot  (n+5)}{n^2}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión


(Pág. 63)

4, 5

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda