Límite de una sucesión (1ºBach)

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<center><math>lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon</math></center> <center><math>lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon</math></center>
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-*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>+\infty \;</math> o que su '''límite''' es <math>+\infty \;</math>. Diremos que la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}+*Cuando una sucesión no es convergente diremos que es '''divergente'''.
 +*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>+\infty \;</math> o que su '''límite''' es <math>+\infty \;</math>. Por tanto, la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
<center><math>lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k</math></center> <center><math>lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k</math></center>
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-*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>-\infty \;</math> o que su '''límite''' es <math>-\infty \;</math>. Diremos que la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}+*Cuando los términos de una sucesión <math>a_n\;</math> toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión '''tiende''' a <math>-\infty \;</math> o que su '''límite''' es <math>-\infty \;</math>. Por tanto, la sucesión es '''divergente'''. Lo escribiremos simbólicamente:{{p}}
<center><math>lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k</math></center> <center><math>lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k</math></center>
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===Sucesiones oscilantes=== ===Sucesiones oscilantes===
-{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión diremos que es '''oscilante''' si no es convergente ni divergente, es decir, son sucesiones que no tienen límite (ni finito, ni infinito)}}+{{Caja_Amarilla|texto=Las sucesiones '''oscilantes''' son sucesiones divergentes pero que no tienden ni a <math>+\infty \;</math> ni a <math>-\infty \;</math>.}}
 +{{p}}
 +{{Warning|titulo=Advertencia:|texto=
 +En esta página consideramos la divergencia como la no existencia de límite (<math>l \in \mathbb{R}\;</math>) y, por tanto, una sucesión puede ser convergente o no convergente (divergente). Sin embargo, algunos matemáticos consideran la divergencia como la tendencia a infinito. En este segundo caso, una sucesión puede ser convergente, divergente o no convergente ni divergente.
 +}}
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=Son sucesiones oscilantes: {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=Son sucesiones oscilantes:
Línea 203: Línea 208:
}} }}
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-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesión oscilante''+ 
 +===Sucesiones alternadas===
 +{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión diremos que es '''alternada''' si sus términos van alternando en signo.}}
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 +{{p}}
 +{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=Son sucesiones alternadas:
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 +<math>\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;</math>, que además es oscilante.
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 +<math>\{1, -1,\, \cfrac{1}{2},\, -\cfrac{1}{2},\, \cfrac{1}{4},\, -\cfrac{1}{4},\, \cfrac{1}{8},\, -\cfrac{1}{8},...\}\;</math>, que además es convergente (a cero).
 +}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Sucesión oscilante y alternada''
|enunciado= |enunciado=
La siguiente sucesión no tiene límite La siguiente sucesión no tiene límite
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<center><math>-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots</math></center> <center><math>-1,\ 2,\ -3,\ 4,\ -5,\ 6,\ -7,\ 8,\ \cdots</math></center>
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-Se trata de una que no es ni convergente, ni divergente. ('''sucesión oscilante'''). También es una '''sucesión alternada''' porque sus términos van alternando entre positivos y negativos.+Se trata de una '''sucesión oscilante'''. También es una '''sucesión alternada''' porque sus términos van alternando entre positivos y negativos.
Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a <math>+\infty \;</math> y los pares a <math>-\infty \;</math>, como puede verse en la representación gráfica de la sucesión. Esto es debido a que sus términos se aproximan a dos valores distintos: los términos impares tienden a <math>+\infty \;</math> y los pares a <math>-\infty \;</math>, como puede verse en la representación gráfica de la sucesión.
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}} }}
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-===Sucesiones alternadas===+{{Web_enlace
-{{Caja_Amarilla|texto=Una sucesión diremos que es '''alternada''' si sus términos van alternando en signo}}+|descripcion=Sucesiones alternadas y oscilantes.
- +|enlace=[http://www.geogebra.org/m/M6HDBFxr Sucesiones alternadas y oscilantes]
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-<math>\{1, -1,\, 2, -2,\, 3, -3,\, 4, -4, ...\}\;</math>, que además es oscilante.+
- +
-<math>\{1, -1,\, \cfrac{1}{2},\, -\cfrac{1}{2},\, \cfrac{1}{4},\, -\cfrac{1}{4},\, \cfrac{1}{8},\, -\cfrac{1}{8},...\}\;</math>, que además es convergente (a cero).+
}} }}
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1a. <math>a_n=3+\frac{10}{n}</math> 1a. <math>a_n=3+\frac{10}{n}</math>
-: {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}+: {{consulta|texto=Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
: {{consulta|texto=Plot Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}} : {{consulta|texto=Plot Table[3+10/n,{n,1.,1000.,100}]}}
: {{consulta|texto=limit 3+10/n as n->+oo}} : {{consulta|texto=limit 3+10/n as n->+oo}}
Línea 264: Línea 274:
1b. <math>b_n=\frac{n^2-n}{2}</math> 1b. <math>b_n=\frac{n^2-n}{2}</math>
-: {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}+: {{consulta|texto=Table[(n^2-n)/2,{n,1.,1000.,100}]}}
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Línea 276: Línea 286:
2b. <math>c_n=\frac{(-1)^n}{n}</math> 2b. <math>c_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>
-: {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,10.}]}} o {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}+: {{consulta|texto=Table[(-1)^n/n,{n,1.,1000.,100}]}}
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Línea 363: Línea 373:
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
==Actividades y videotutoriales== ==Actividades y videotutoriales==
-Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre sucesiones límites, sino que profundizan un poco más:+Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:
{{Videotutoriales|titulo=Sucesiones y límites|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Sucesiones y límites|enunciado=

Revisión actual

Tabla de contenidos

Para acercarnos a la idea de límite, vamos a empezar viendo algunas representaciones gráficas de sucesiones.

(pág. 61)

Representación gráfica de una sucesión

Para representar gráficamente una sucesión a_n\;, construiremos una tabla donde anotaremos el valor de a_n\; para distintos valores de n.

Las parejas (n,a_n),\ n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots obtenidas en la tabla, son las coordenadas de los puntos de la representación gráfica de la sucesión, que dibujaremos en unos ejes de coordenadas cartesianos.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Representación gráfica y límite de una sucesión


Representa graficamente las siguientes sucesiones:

a) a_{n} = \cfrac{5n}{n+3}

b) a_{n} = \cfrac{n^2}{5}-4n\;

Observa que, en ambos ejemplos, los valores obtenidos cuando n es pequeño, no son representativos del valor del límite. Por tanto, el valor del límite debe deducirse tomando valores de n suficientemente grandes.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Representación gráfica y límite de una sucesión


(Pág. 61)

1, 2, 3

(pág. 62)

Concepto de límite de una sucesión

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; podemos conseguir que se aproximen a un número l \in  \mathbb{R}, tanto como queramos (a menos de una distancia \varepsilon \; tan pequeña como deseemos) al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a l\; o que su límite es l\;. Diremos que la sucesión es convergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = l \ \Leftrightarrow \ \forall \, \varepsilon > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ |a_n -l|<\varepsilon

  • Cuando una sucesión no es convergente diremos que es divergente.
  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; superan a cualquier número "k" tan grande como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a +\infty \; o que su límite es +\infty \;. Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = +\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k > 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n> k

  • Cuando los términos de una sucesión a_n\; toman valores inferiores a cualquier número "k" negativo tan pequeño como queramos, al darle a "n" valores suficientemente grandes, decimos que dicha sucesión tiende a -\infty \; o que su límite es -\infty \;. Por tanto, la sucesión es divergente. Lo escribiremos simbólicamente:

lim \ a_n = -\infty \ \Leftrightarrow \ \forall \, k < 0, \, \exists \, n_0 \in \mathbb{N} \ / \ \forall \, n > n_0, \ a_n< k

ejercicio

Teorema


Toda sucesión de números reales monótona y acotada es convergente. Mas concretamente:

  • Una sucesión de números reales creciente y acotada superiormente es convergente.
  • Una sucesión de números reales decreciente y acotada inferiormente es convergente.

(pág. 63)

Sucesiones oscilantes

Las sucesiones oscilantes son sucesiones divergentes pero que no tienden ni a +\infty \; ni a -\infty \;.



Sucesiones alternadas

Una sucesión diremos que es alternada si sus términos van alternando en signo.

ejercicio

Ejemplo: Sucesión oscilante y alternada


La siguiente sucesión no tiene límite

a_n=(-1)^{n+1} \cdot n

(Pág. 63)

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios resueltos: Límite de una sucesión


1. Estudiar el comportamiento de las siguientes sucesiones para valores de n avanzados e indicar su límite:

a) a_n=3+\frac{10}{n}
b) b_n=\frac{n^2-n}{2}


2. Comprobar si las siguientes sucesiones tienen límite:

a) a_n=(-3)^n \;
b) c_n=\frac{(-1)^n}{n}

ejercicio

Ejercicio: Límite de una sucesión


1. Representa gráficamente las siguientes sucesiones e indica si tienen o no límite, calculándolo en su caso:

a) a_n=n^2\;

b) b_n=\cfrac{7n}{n+1}

c) c_n=\cfrac{n^2-6n-1}{5n+1}

d) d_n=(-1)^n \cdot (2n+1)

e) e_n=\cfrac{n^2-2}{2n^2+1}

f) f_n=\cfrac{n^3-15n^2+25}{2n^2-1}

g) g_n=\cfrac{90n+90}{n^2}

h) h_n=\sqrt{4n+5}

i) i_n= \begin{cases} 2, & \mbox{si }n\mbox{ es par} \\ 4, & \mbox{si }n\mbox{ es impar} \end{cases}

j) j_n=\cfrac{(-1)^n \cdot  (n+5)}{n^2}

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Límite de una sucesión


(Pág. 63)

4, 5

Actividades y videotutoriales

Los siguientes videotutoriales no solo resumen lo visto hasta ahora sobre límites de sucesiones, sino que profundizan un poco más:

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda