La circunferencia (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Circunferencia
2 Ecuación de la circunferencia
- 2.1 Circunferencia que pasa por tres puntos
- 2.2 Ejercicios y videotutoriales
  - 2.2.1 Ejercicios propuestos
3 Posición relativa de un punto y una circunferencia
4 Posición relativa de una recta y de una circunferencia
- 4.1 Ejercicios propuestos
5 Posición relativa de dos circunferencias

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Circunferencia

La circunferencia de centro $O\,$ y radio $r\,$ , es el lugar geométrico de los puntos $P\,$ , cuya distancia al centro es $r\,$ :

$\big \{P(x,y) \ / \ d(P,O)=r \big \}$

Trazado de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver como se dibuja una circunferencia.

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Ecuación de la circunferencia

Proposición

La ecuación de la circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

Demostración:

Partiendo de la definición de circunferecia y utilizando la definición de distancia, cualquier punto $P(x,y)\,$ de la circunferencia, cumple:

$d(P,O)=r \; \rightarrow \; \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r$

Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

obtenemos la fórmula buscada.

Proposición

La ecuación de una circunferencia de centro $O(a,b)\,$ y radio $r\,$ , es:

$x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$

donde: $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ .

Demostración:

Partiendo de la ecuación de la circunferencia:

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2\,$

y desarrollando los cuadrados:

$x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2=r^2\,$

Agrupando términos:

$x^2+y^2-2ax-2bx+a^2+b^2-r^2=0\,$

y llamando $A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$ , se tiene la ecuación.

Ecuación de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver cómo es la ecuación de una circunferencia y su representación gráfica.

Corolario

Dada la circunferencia de ecuación $x^2+y^2+Ax+By+C=0 \,$ , su centro y su radio vienen dados por:

$O(-\cfrac{A}{2},-\cfrac{B}{2}) \quad , \quad r=\sqrt{\big( \cfrac{A}{2} \big)^2+\cfrac{B}{2} \big)^2-C}$

Demostración:

Es inmediato a partir de la proposición anterior, despejando $a\,$ , $b\,$ y $r\,$ de las expresiones

$A=-2a \, , \; B=-2b \, , \; C=a^2+b^2-r^2$

Ejemplo: Ecuación de la circunferencia

Hallar la ecuación de la circunferencia de centro $O(-3,0)\,$ y radio $r=5\,$ .

Solución:

Hallamos la ecuación de la circunferencia:

$(x+3)^2+(y-0)^2=25\,$

Desarrollando los cuadrados;

$x^2+6x+9+y^2=25\,$

$x^2+y^2+6x-16=0\,$

Su representación gráfica puedes verla en esta escena moviendo el centro y eligiendo el radio:

Ecuación de la circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver cómo es la ecuación de una circunferencia y su representación gráfica.

Ejemplo 1 (11'47") Sinopsis:

Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(1,3) y B(4,6) y tiene su centro en el eje X.

Ejemplo 2 (13'30") Sinopsis:

Halla la ecuación de la circunferencia de centro (-4,-1) que es tangente a la recta 3x+2y-12=0.

Ejercicio resuelto: Ecuación de la circunferencia

Indica cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a una circunferencia y, en ellas, halla su radio y su centro:

a) $x^2+y^2-4x+6=0\;$

b) $3x^2+3y^2-12x+6y-12=0\;$

c) $x^2+y^2+4x-6y+13=0\;$

Solución:

a) No. Aunque los coeficientes cuadráticos son 1 y no tiene término en xy, al intentar calcular su radio resulta que sería negativo.

b) Si. Tras simplificar por 3 la ecuación, los coeficientes cuadráticos son 1 y no tiene término en xy. Su radio es r=3 y su centro C(2,-1).

c) No. Aunque los coeficientes cuadráticos son 1 y no tiene término en xy, al intentar calcular su radio resulta que sería cero.

Ejemplo 3. (15'49") Sinopsis:

Hallar el centro y el radio de la circunferencia $x^2+y^2+4x-6y-3=0\;$ .

Ejemplo 4. (9'09") Sinopsis:

Hallar el centro y el radio de la circunferencia $x^2+y^2+4x-6y-3=0\;$ por otro método.

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Circunferencia que pasa por tres puntos

Por tres puntos no alineados A, B y C, pasa una circunferencia. Para obtenerla, hallaremos el circuncentro del triángulo ABC (punto de intersección de las ecuaciones de las mediatrices), que será el centro de la circunferencia. El radio se obtiene calculando la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos dados.

Ejemplo: Circunferencia que pasa por tres puntos

Halla la circunferencia que pasa por los puntos A(3,4), B(1,-2) y C(-2,3).

Solución:

Los pasos a seguir son los siguientes:

Halla la ecuación de la mediatriz del segmento AB.
Halla la ecuación de la mediatriz del segmento BC.
Halla el centro como intersección de esas dos mediatrices.
Halla el radio como la distancia del centro al punto A, por ejemplo.

Comprueba los resultados en la siguiente escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Circunferencia que pasa por tres puntos (Otro método) (22'48") Sinopsis:

Otra forma de hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos.

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Ejercicios y videotutoriales

Ecuación de la circunferencia

Tutorial (10'29") Sinopsis:

Ecuación de la circunferencia. Ejemplos.

Ejercicio 1 (15'35") Sinopsis:

Halla el centro y el radio de una circunferencia dada su ecuación.

Ejercicio 2 (13'33") Sinopsis:

4 ejercicios.

Ejercicio 3 (10'24") Sinopsis:

1 ejercicio.

Ejercicio 4 (6'44") Sinopsis:

1 ejercicio.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: La circunferencia

(Pág. 219)

1, 2

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Posición relativa de un punto y una circunferencia

Un punto puede estar situado:

Exterior a la circunferencia: si su distancia al centro es mayor que el radio.
Interior a la circunferencia: si su distancia al centro es menor que el radio.
Contenido en la circunferencia: si su distancia al centro es igual que el radio.

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Posición relativa de una recta y de una circunferencia

Una recta y una circunferencia pueden ser:

Secantes: si se cortan en 2 puntos.
Tangentes: si se cortan en un punto.
Exteriores: si no se cortan.

Posición relativa de una recta y una circunferencia Descripción:

En esta escena podrás ver las distintas posiciones relativas de una recta y una circunferencia.

Procedimiento

Dadas la recta y la circunferencia de ecuaciones:

$\begin{cases} s: Ax+By+C=0 \\ C: x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

Su posición relativa se puede estudiar de dos maneras:

Hallando los puntos de corte, resolviendo el sistema.

2 puntos de corte: secantes.
1 punto de corte: tangentes.
0 puntos de corte: exteriores.

Calculando el centro, O, y el radio, r, de la circunferencia; calculando la distancia del centro a la recta, d(O,s):

Si r > d(O,s), la recta es secante.
Si r = d(O,s), la recta es tangente.
Si r < d(O,s), la recta es exterior.

Ejemplo: Posición relativa de recta y circunferencia

Halla la posición relativa de la recta $s: \, 2x-y+1=0$ y la circunferencia $C: \, x^2+y^2-2x-2y-2=0$ .

Solución:

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema:

$\begin{cases} y=2x+1 \\ x^2+y^2-2x-2y-2=0 \end{cases}$

Lo resolvemos por sustitución:

$x^2+(2x+1)^2-2x-2(2x+1)-2=0\;$

$x^2+4x^2+4x+1-2x-4x-2-2=0\;$

$5x^2-2x-3=0 \; \rightarrow \; \begin{cases} x_1=1 \; \rightarrow \; y_1=3 \\ x_2=-\cfrac{3}{5} \; \rightarrow \; y_2=-\cfrac{1}{5} \end{cases}$

Los puntos de corte son: $(1,3)\,$ y $(-\cfrac{3}{5},-\cfrac{1}{5})\,$

Su representación gráfica puedes verla en la escena:

Click aquí si no se ve bien la escena

Hazlo tu:

Halla la posición relativa de la recta $r: \, x-y=0$ y la circunferencia $C: \, x^2+y^2-2x=0$ . Comprueba los resultados en la escena anterior, editando las ecuaciones que aparecen en la parte inferior.

Posición relativa recta-circunferencia (9'57") Sinopsis:

Posición relativa recta-circunferencia. Ejemplos.

Rectas tangente y normal a una circunferencia en un punto de ésta (8'29") Sinopsis:

Rectas tangente y normal a una circunferencia en un punto de ésta. Ejemplos.

Rectas tangentes a una circunferencia por un punto exterior a ésta (5'57") Sinopsis:

Rectas tangentes a una circunferencia por un punto exterior a ésta. Ejemplos.

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: La circunferencia

(Pág. 220)

3, 4

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Posición relativa de dos circunferencias

Dos circunferencias pueden ser:

Exteriores, si no tienen puntos comunes.

Cumplen que la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la otra. :Cumplen que la distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio.

Secantes, si se cortan en dos puntos distintos.

Cumplen que la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más de dos puntos.

Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto.

Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son interiores a la otra.

Cumplen que la distancia que hay entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común.

Cumplen que la distancia entre sus centros es mayor que 0 y menor que la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro y distinto radio.

Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra.

Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio.

En realidad no se trata de dos circunferencias distintas, sino de una misma. Si dos circunferencias se cortan en más de dos puntos, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Posiciones relativas de dos circunferencias (16'40") Sinopsis:

Posiciones relativas de dos circunferencias. Propiedades.

Procedimiento

Dadas las circunferencia de ecuaciones:

$\begin{cases} C_1: \; x^2+y^2+Ax+By+C=0 \\ C_2: \; x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 \end{cases}$

los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema formado por ambas ecuaciones.

Ejemplo: Posición relativa de dos circunferencias

Halla la posición relativa de las circunferencias:

$C_1: \, x^2+y^2+6x+2y+1=0$

$C_2: \, x^2+y^2-2x-4y+1=0$ .

Solución:

Los puntos de corte se averiguan resolviendo el sistema:

$\begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ x^2+y^2-2x-4y+1=0 \end{cases}$

Sustituyendo la segunda ecuación por la resta de ambas, obtenemos el siguiente sistema equivalente:

$\begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ 4x-2y+2=0 \end{cases} \begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ 8x+6y=0 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} x^2+y^2+6x+2y+1=0 \\ y=-\cfrac{4x}{3} \end{cases}$