Lugares geométricos (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 11:17 16 oct 2016
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Mediatriz de un segmento)
← Ir a diferencia anterior
Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Mediatriz de un segmento)
Línea 5: Línea 5:
|enlaces= |enlaces=
}} }}
 +__TOC__
{{p}} {{p}}
 +(Pág. 216)
==Lugar geométrico== ==Lugar geométrico==
-{{Caja_Amarilla|texto= Se llama '''lugar geométrico''' a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.+{{lugar geométrico}}
-}}+
{{p}} {{p}}
Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico. Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.
{{p}} {{p}}
- 
==Mediatriz de un segmento== ==Mediatriz de un segmento==
-{{Caja_Amarilla|texto= La '''mediatriz de un segmento''' <math>\overline{AB}</math>, es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math>, que equidistan de los extremos <math>A\,</math> y <math>B\,</math>.+{{mediatriz de un segmento}}
- +
-{{b4}}+
-<center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center>+
-{{p}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=La mediatriz de un segmento es una recta.+
-|demo=Para hallar la ecuación de la mediatriz AB, siendo <math>A=(x_a,y_a)\;</math> y <math>B=(x_b,y_b)\;</math> tenemos que hallar la ecuación del lugar geométrico+
-{{p}}+
-<center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center>+
-{{p}}+
-Para ello escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:+
-{{p}}+
-<center><math>d(P,A)=d(P,B) \;</math></center>+
-{{p}}+
-<center><math>\sqrt{(x-x_a)^2+(y-y_a)^2}=\sqrt{(x-x_b)^2+(y-y_b)^2}</math></center>+
-{{p}}+
-Elevando ambos miembros al cuadrado, desarrollando los cuadrados de los binomios y simplificando, comprueba que queda la ecuación:+
- +
-<center><math>2(x_b-x_a)x+2(y_b-y_a)y+(x_a^2+y_a^2-x_b^2-y_b^2)=0</math></center>+
- +
-Por tanto, la ecuación de la mediatriz del segmento AB es la ecuación de una recta. +
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Mediatriz de un segmento''|cuerpo=+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Mediatriz de un segmento''|enunciado=
-{{ai_cuerpo+Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos <math>A(-3,4)\,</math> y <math>B(1,0)\,</math> y represéntala gráficamente.
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena hallaremos la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos <math>A(-3,4)\,</math> y <math>B(1,0)\,</math> y la representaremos gráficamente.+|sol=Para hallar la ecuación del lugar geométrico
-|actividad=Para hallar la ecuación del lugar geométrico+
<center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center> <center><math>\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}</math></center>
Línea 48: Línea 24:
escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos: escribiremos la fórmula de la distancia entre dos puntos:
 +<center><math>d(P,A)=d(P,B)\;</math></center>
 +{{p}}
<center><math>\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}</math></center> <center><math>\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2}</math></center>
Línea 56: Línea 34:
Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta. Por tanto, la mediatriz del segmento es una recta.
- +{{p}}
-<center><iframe>+{{Geogebra_enlace
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_8_1.html+|descripcion=En esta escena podrás representar la mediatriz del segmento. Tan sólo tendrás que mover los extremos del segmento para hacerlos coincidir con los del enunciado.
-width=500+|enlace=[https://ggbm.at/wAKetmpw Representación gráfica de la mediatriz]
-height=400+}}
-name=myframe+}}
-</iframe></center>+{{p}}
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_8_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+{{Videotutoriales|titulo=Mediatriz de un segmento|enunciado=
- +{{Video_enlace_unicoos
-En esta escena puedes obtener la mediatriz de cualquier segmento. Para ello mueve los extremos '''A''' y '''B''', o bien modifica las coordenadas manualmente.+|titulo1=Ejemplo 1
 +|duracion=6'49"
 +|sinopsis=Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.
 +|url1=http://www.unicoos.com/video/matematicas/1-bachiller/geometria-analitica/puntos-notables-de-un-triangulo/mediatriz-de-un-segmento
 +}}
 +{{Video_enlace_miguematicas
 +|titulo1=Ejemplo 2
 +|duracion=3'35"
 +|sinopsis=Otra forma de calcular la mediatriz de un segmento cuyos extremos son dados.
 +|url1=http://youtu.be/WL8Q-_ghAcE
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
-==Bisectriz de un ángulo==+==Bisectriz del ángulo entre dos rectas==
-{{Caja_Amarilla|texto= La '''bisectriz de un ángulo''' de lados <math>r\,</math> y <math>s\,</math>, es el lugar geométrico de los puntos <math>P\,</math>, que equidistan de los lados <math>r\,</math> y <math>s\,</math>.+{{bisectriz del ángulo}}
- +
-{{Caja|contenido=<math>d(X,r)=d(X,s)\,</math>}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad interactiva: ''Bisectriz de un ángulo''|cuerpo=+{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Bisectriz del ángulo entre dos rectas''|enunciado=Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas <math>r: \, 11x+2y-20=0</math> y <math>s: \, 2x+11y+7=0</math>, y la represéntalas gráficamente.
-{{ai_cuerpo+|sol=Para hallar la ecuación del lugar geométrico
-|enunciado='''Actividad 1:''' En la siguiente escena hallaremos la ecuación de la bisectriz del ángulo que forman las rectas <math>r: \, 11x+2y-20=0</math> y <math>s: \, 2x+11y+7=0</math>, y la representaremos gráficamente.+
-|actividad=Para hallar la ecuación del lugar geométrico+
<center><math>\big \{P(x,y) \, , \; d(P,r)=d(P,s) \big \}</math></center> <center><math>\big \{P(x,y) \, , \; d(P,r)=d(P,s) \big \}</math></center>
Línea 85: Línea 67:
escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta: escribiremos la fórmula de la distancia de un punto a una recta:
 +<center><math>d(P,r)=d(P,s)\;</math></center>
 +{{p}}
<center><math>\cfrac{|11x+2y-20|}{\sqrt{11^2+2^2}}=\cfrac{|2x+11y+7|}{\sqrt{2^2+11^2}}</math></center> <center><math>\cfrac{|11x+2y-20|}{\sqrt{11^2+2^2}}=\cfrac{|2x+11y+7|}{\sqrt{2^2+11^2}}</math></center>
Línea 108: Línea 92:
<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_8_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> <center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/Bach_CNST_1/Geometria_afin_analitica_plano_lugares_geometricos/Geometria_8_2.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>
-}} 
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{Video_enlace+{{Videotutoriales|titulo=Bisectrices de los ángulos entre dos rectas|enunciado=
-|titulo1=Bisectrices del ángulo entre dos rectas+{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial
|duracion=5´29" |duracion=5´29"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/07-bisectrices-del-angulo-de-dos-rectas#.VC7YYxa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qSp1eTNZOB4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=40
|sinopsis=Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas. |sinopsis=Las bisectrices de los ángulos determinados por dos rectas están formadas por los puntos que equidistan de ambas rectas.
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio+|titulo1=Ejercicio 1
|duracion=7´50" |duracion=7´50"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0701-ejercicio-21-2#.VC7Y3Ba7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=iVtbPOfqrr8&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=41
|sinopsis=Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales. |sinopsis=Determina la bisectriz del ángulo entre dos rectas dadas en ecuaciones generales.
}} }}
-{{Video_enlace+{{Video_enlace_fonemato
-|titulo1=Ejercicio (Incentro de un triángulo)+|titulo1=Ejercicio 2 (Incentro de un triángulo)
|duracion=9´37" |duracion=9´37"
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/09-la-recta-en-el-plano/0702-ejercicio-incentro-de-un-triangulo#.VC7ZABa7ZV8+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=6ZQ7Z2nb9e4&list=PLF10C7CAD9DEE955C&index=42
|sinopsis=Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos. |sinopsis=Determinamos el "incentro" de un triángulo de vértices conocidos.
Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar. Cae millones de veces todos los años en examen. No es admisible dejarlo escapar.
- 
}} }}
 +}}
 +{{p}}
 +==Circunferencia==
 +{{circunferencia}}
 +{{p}}
 +==Ejercicios propuestos==
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Lugares geométricos''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 217)
 +
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 1
 +
 +}}
 +{{p}}
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Geometría]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

(Pág. 216)

Lugar geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Así, dado el segmento \overline{AB}, su mediatriz está formada por los puntos P\, del siguiente conjunto:

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}

Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.
Aumentar
Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.

ejercicio

Propiedad


La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

ejercicio

Ejemplo: Mediatriz de un segmento


Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(-3,4)\, y B(1,0)\, y represéntala gráficamente.

Bisectriz del ángulo entre dos rectas

La bisectriz de un ángulo que forman las rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados.

Así, la bisectriz del ángulo que forman dos rectas, r\, y s\,, está formada por los puntos P\, del siguiente conjunto:

\big \{P(x,y) \ / \ d(P,r)=d(P,s)\big \}

Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, todo par de rectas determinan dos bisectrices.

ejercicio

Propiedad


Las bisectrices del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares.

Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.
Aumentar
Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.

ejercicio

Ejemplo: Bisectriz del ángulo entre dos rectas


Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas r: \, 11x+2y-20=0 y s: \, 2x+11y+7=0, y la represéntalas gráficamente.

Circunferencia

La circunferencia de centro O\, y radio r\,, es el lugar geométrico de los puntos P\,, del plano, cuya distancia al centro es r\,.

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}

Circunferencia de centro O y radio r.
Aumentar
Circunferencia de centro O y radio r.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Lugares geométricos


(Pág. 217)

1

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda