Lugares geométricos (1ºBach)

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Lugar geométrico

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad.

Vamos a estudiar a continuación algunos lugares geométricos como la mediatriz de un segmento o la bisectriz de un ángulo. En cada caso buscaremos una ecuación que describa a dicho lugar geométrico.

Mediatriz de un segmento

La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus extremos.

Así, dado el segmento \overline{AB}, su mediatriz está formada por los puntos P\, del siguiente conjunto:

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,A)=d(P,B) \big \}

Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.
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Fig. 1: En rojo, la mediatriz de un segmento AB.

ejercicio

Propiedad


La mediatriz de un segmento es una recta perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.

ejercicio

Ejemplo: Mediatriz de un segmento


Halla la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(-3,4)\, y B(1,0)\, y represéntala gráficamente.

Bisectriz del ángulo entre dos rectas

La bisectriz de un ángulo que forman las rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de sus lados.

Así, la bisectriz del ángulo que forman dos rectas, r\, y s\,, está formada por los puntos P\, del siguiente conjunto:

\big \{P(x,y) \ / \ d(P,r)=d(P,s)\big \}

Por como se ha definido la bisectriz, ésta divide al ángulo que forman las rectas en dos ángulos iguales. Además, como dos rectas determinan dos parejas de ángulos iguales, todo par de rectas determinan dos bisectrices.

ejercicio

Propiedad


Las bisectrices del ángulo entre dos rectas son un par de rectas perpendiculares.

Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.
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Fig. 2: Las dos rectas de color rojo son las bisectrices de los ángulos que forman rectas r y s. Fíjate como forman un ángulo recto.

ejercicio

Ejemplo: Bisectriz del ángulo entre dos rectas


Halla las ecuaciones de las bisectrices del ángulo que forman las rectas r: \, 11x+2y-20=0 y s: \, 2x+11y+7=0, y la represéntalas gráficamente.

Circunferencia

La circunferencia de centro O\, y radio r\,, es el lugar geométrico de los puntos P\,, del plano, cuya distancia al centro es r\,.

\big \{P(x,y) \, / \; d(P,O)=r \big \}

Circunferencia de centro O y radio r.
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Circunferencia de centro O y radio r.

Arco capaz

Observa los ángulos de la imagen de la derecha. Todos ellos son ángulos inscritos que abarcan un mismo arco de circunferencia. En consecuencia, sabemos que todos ellos son iguales.

Esto nos permite dar la siguiente definición:

El arco capaz de un ángulo \alpha\, para un segmento \overline{AB} es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales "se ve" el segmento \overline{AB} bajo un mismo ángulo \alpha\;.

Fig. 4: Arco capaz de ángulo α para el segmento AB representado en color rojo.
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Fig. 4: Arco capaz de ángulo α para el segmento AB representado en color rojo.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Lugares geométricos


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