Método de Gauss para sistemas lineales (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Sistema escalonado
2 Método reducción de Gauss
3 Discusión de sistemas

Sistema escalonado

Un sistema de ecuaciones se dice que está escalonado si cada ecuación tiene una incógnita más que la siguiente.

Ejemplos:

Ell siguiente sistema es escalonado:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - 2z & = & -4 \\ \qquad \quad - \, 2z & = & -2 \end{matrix} \right.$

También lo es este otro:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~5 \\ \quad -3y \, + 7z & = & -1 \end{matrix} \right.$

Método reducción de Gauss

El método de Gauss que se debe al matemático alemán Johann Carl Friedrich Gauss, es una generalización del método de reducción, que utilizamos para eliminar una incógnita en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consiste en la aplicación sucesiva del método de reducción, utilizando los criterios de equivalencia de sistemas, para transformar el sistema de ecuaciones en un sistema escalonado.

Las operaciones que podemos realizar sobre las ecuaciones del sistema inicial para transformarlo en otro equivalente, son las siguientes:

Multiplicar o dividir una ecuación por un número real distinto de cero.
Sumarle o restarle a una ecuación otra ecuación.
Sumarle a una ecuación otra ecuación multiplicada por un número distinto de cero.
Cambiar el orden de las ecuaciones.
Cambiar el orden de las incógnitas del sistema.
Eliminar ecuaciones nulas (0=0).

Ejemplo: Método de reducción de Gauss

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Gauss:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{matrix} \right.$

Solución:

Operamos con las ecuaciones de la siguiente manera:

Ecu2: $Ecu2-Ecu1\;$
Ecu3: $Ecu3-Ecu1\;$

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, ~~z & = & ~~3 \\ \qquad \quad - \, ~2z & = & -2 \\ \quad - \, 2y \, - \, 2z & = & -4 \end{matrix} \right.$

Intercambiamos las dos últimas ecuaciones para dejar el sistema escalonado:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - 2z & = & -4 \\ \qquad \quad - \, 2z & = & -2 \end{matrix} \right.$

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener $z\;$ :

$z \, = \, 1$

En la primera y segunda ecuación, sustituimos $z\;$ por la solucion de la tercera ecuación ( $z=1\;$ ), para obtener:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - \, 2 & = & -4 \end{matrix} \right.$

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita $y\;$ , que resolvemos para obtener:

$y \, = \, 1$

Sustituimos la incógnita $y\;$ de la primera ecuación, por la solución obtenida en la segunda ecuación ( $y=1\;$ ). Esto nos da una ecuación en $x\;$ :

$x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3$

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

$x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1$

Video: Gauss, el príncipe de las matemáticas (22´)

Sinopsis:

Principios del siglo XIX. Un joven matemático acaba de resolver un problema de más de 2.000 años de antigüedad: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Esta va a ser una de las primeras anotaciones que hará en una vieja libreta de 19 páginas. Al final de su vida las anotaciones no llegarán a 50, pero sin duda esta libreta será el sueño de cualquier matemático del siglo XIX. Las aportaciones que en ella se reflejan contienen el suficiente material para mantener ocupados a todos los matemáticos del siglo.

Sin embargo la fama de este joven, Gauss le va a venir de los cielos. A finales de 1800 los astrónomos descubren un nuevo objeto celeste. No se trata de un cometa, bien podía ser el planeta buscado tantos años entre Marte y Júpiter. Por desgracia se le pierde la pista. Pero con las pocas observaciones realizadas, Gauss se pone a la tarea de deducir su órbita y señala el lugar del cielo hacia donde apuntar los telescopios un año más tarde. Y en efecto alli aparece Ceres.

Las increíbles aportaciones de Gauss no se limitan al mundo de las Matemáticas y de la Astronomía. Junto a Weber va a poner en marcha el primer telégrafo operativo unos años antes que el de Morse. En magnetismo también nos ha dejado su huella: el primer mapa magnético de la Tierra es obra suya. No es inmerecido el título de Príncipe de los Matemáticos, aunque reinó en casi todas las ciencias.

Video:

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Discusión de sistemas

Después de realizar las transformaciones que se consideren pertinentes, se obtendrá un sistema escalonado. Suponiendo que hubiésemos eliminado, si las hubiera, las filas nulas (0 0 0 ... 0), que corresponden a ecuaciones del tipo 0 = 0, el sistema equivalente tendría ahora k ecuaciones lineales con n incógnitas. Analizando el sistema resultante, podemos efectuar su discusión del siguiente modo:

Sistema incompatible (S.I.)

Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = b (siendo b distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

Ejemplos:

Consideremos el siguiente sistema:

$\left\{ \begin{matrix} ~~~x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3 \\ ~~2x \, - \, 2y \, + \, 3z & = & ~~5 \\ -2x \, + \, 8y \, + \, 4z & = & -4 \end{matrix} \right.$

Operamos de la siguiente manera:

Ecu2: $Ecu2 - 2 \cdot Ecu1$
Ecu3: $Ecu3 + 2 \cdot Ecu1$

$\left\{ \begin{matrix} ~~~x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3 \\ \qquad \, - \, ~~6y \, + \, -7z & = & ~~11 \\ \qquad \, + \, 12y \, + \, 14z & = & -10 \end{matrix} \right.$

Ahora operamos con la última ecuación para terminar de escalonar:

Ecu3: $Ecu3 + 2 \cdot Ecu2$

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, 2y \, + \, 5z & = & -3 \\ \quad -6y \, - 7z & = & ~11 \\ \qquad \quad \quad \, 0 & = & ~12 \end{matrix} \right.$

que es equivalente al inicial.

El sistema es incompatible pués la tercera ecuación es absurda.

Sistema compatible determinado (S.C.D.)

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b, y además k = n, es decir, el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

Ejemplos:

Consideremos el siguiente sistema:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ x \, + \, y \, - \, z & = & ~~1 \\ x \, - \, y \, - \, z & = & -1 \end{matrix} \right.$

Operamos con las ecuaciones de la siguiente manera:

Ecu2: $Ecu2-Ecu1\;$
Ecu3: $Ecu3-Ecu1\;$

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, ~~z & = & ~~3 \\ \qquad \quad - \, ~2z & = & -2 \\ \quad - \, 2y \, - \, 2z & = & -4 \end{matrix} \right.$

Intercambiamos las dos últimas ecuaciones para dejar el sistema escalonado:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, z & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - 2z & = & -4 \\ \qquad \quad - \, 2z & = & -2 \end{matrix} \right.$

que es equivalente al inicial.

Solucionamos la tercera ocuacion para obtener $z\;$ :

$z \, = \, 1$

En la primera y segunda ecuación, sustituimos $z\;$ por la solucion de la tercera ecuación ( $z=1\;$ ), para obtener:

$\left\{ \begin{matrix} x \, + \, y \, + \, 1 & = & ~~3 \\ \quad -2y \, - \, 2 & = & -4 \end{matrix} \right.$

La segunda ecuación es ahora una ecuación con una sola incognita $y\;$ , que resolvemos para obtener:

$y \, = \, 1$

Sustituimos la incógnita $y\;$ de la primera ecuación, por la solución obtenida en la segunda ecuación ( $y=1\;$ ). Esto nos da una ecuación en $x\;$ :

$x \, + \, 1 \, + \, 1 \, = \, 3$

que al resolverla termina de darnos la solución del sistema de ecuaciones inicial:

$x \, = \, y \, = \, z \, = \, 1$

Se trata, por tanto, de un sistema con una única solución, un S.C.D. (sistema compatible determinado).

Sistema compatible indeterminado (S.C.I.)

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = b y k < n, es decir, el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las n - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.

Ejemplos:

Consideremos el siguiente sistema:

$\left\{ \begin{matrix} 3x \, + \, 2y \, - \, 2z & = & ~~4 \\ 4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7 \\ ~x \, + \, 4y \, - \, 4z & = & -2 \end{matrix} \right.$

Operamos de la siguiente manera:

Ecu1: $Ecu1 - 2 \cdot Ecu2$
Ecu3: $Ecu3 -4 \cdot Ecu2$

$\left\{ \begin{matrix} ~-~5x \qquad \qquad \quad & = & -10 \\ ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7 \\ -15x \qquad \qquad \quad & = & -30 \end{matrix} \right.$

Intercambiamos las dos primeras ecuaciones:

$\left\{ \begin{matrix} ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7 \\ ~-~5x \qquad \qquad \quad & = & -10 \\ -15x \qquad \qquad \quad & = & -30 \end{matrix} \right.$

Ahora operamos con las dos últimas ecuaciones:

Ecu2: $E c u 2:( - 5)$
Ecu3: $Ecu3 - 3 \cdot Ecu2$

$\left\{ \begin{matrix} 4x \, + \, y \, - \, z & = & 7 \\ ~x\qquad \quad \quad \, & = & 2 \\ \qquad \quad \quad \, 0 & = & 0 \end{matrix} \right.$

que es equivalente al inicial.

La tercera ecuación se puede suprimir y de la segunda ecuación tenemos que $x=2\;$ .

Sustituyendo el valor $x=2\;$ en la primera ecuación, ésta queda:

$8+y-z=7\;$

y simplificada:

$y-z=-1\;$

Así nuestro sistema es equivalente a otro con una sola ecuación y dos incógnitas, que por tanto tiene infinitas soluciones, que podemos expresar de la siguiente forma:

$\left\{ \begin{matrix} x & = & 2 \\ y & = & z-1 \end{matrix} \right.$

Se trata de un sistema compatrible indeterminado.

Actividades Interactivas: Método de Gauss

1. Discusión y resolución de sistemas por el método de Gauss.

Actividad:

La siguiente escena efectúa la discusión y resuelve, en los casos que proceda (sistema compatible determinado o indeterminado), cualquier sistema de ecuaciones lineales, utilizando el método de Gauss. El número máximo de ecuaciones y de incógnitas que puede tener el sistema es 5.

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Categorías: Matemáticas | Álgebra

 {{Desplegable|titulo=Ejemplos:{{b}}|contenido=
 Consideremos el siguiente sistema:
 <center>
 <math>
 x \, + \, 2y \, - \, 2z & = & ~~4
     \\
-x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~5
+x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7
     \\
     ~x \, + \, 4y \, - \, 4z & = & -2
 </math>
 </center>
-La matriz ampliada del sistema de ecuaciones es:
-<center>
-<math>
-A^*=\left(
-  \left.
-    \begin{matrix}
-      ~~3 & ~~2 & -2
-      \\
-      ~~4 & ~~1 & -1
-      \\
-      ~~1 & ~~4 & -4
-    \end{matrix}
-  \right|
-  \begin{matrix}
-    ~~4
-    \\
-    ~~7
-    \\
-    -2
-  \end{matrix}
-\right)
-</math>
-</center>
-<br/>
 Operamos de la siguiente manera:
-*Fila1: <math>Fila1 - 2 \cdot Fila2</math>
+*Ecu1: <math>Ecu1 - 2 \cdot Ecu2</math>
-*Fila3: <math>Fila3 -4 \cdot Fila2</math>
+*Ecu3: <math>Ecu3 -4 \cdot Ecu2</math>
 <center>
 <math>
-\left(
+\left\{ \begin{matrix}
-  \left.
+    ~-~5x \qquad \qquad \quad & = & -10
-    \begin{matrix}
-      -5 & ~~0 & ~~0
-      \\
-      ~~~4 & ~~1 & -1
-      \\
-      -15 & ~~0 & ~~0
-    \end{matrix}
-  \right|
-  \begin{matrix}
-    -10
     \\
-    ~~7
+    ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7
     \\
-    -30
+    -15x \qquad \qquad \quad & = & -30
   \end{matrix}
-\right)
+\right.
 </math>
 </center>
-<br/>
+Intercambiamos las dos primeras ecuaciones:
-Intercambiamos Fila 1 y Fila 2:
 <center>
 <math>
-\left(
+\left\{ \begin{matrix}
-  \left.
+    ~~~~4x \, + \, ~y \, - \, ~z & = & ~~7
-    \begin{matrix}
-      ~~~4 & ~~1 & -1
-      \\
-      -5 & ~~0 & ~~0
-      \\
-      -15 & ~~0 & ~~0
-    \end{matrix}
-  \right|
-  \begin{matrix}
-    ~~7
     \\
-    -10
+    ~-~5x \qquad \qquad \quad & = & -10
     \\
-    -30
+    -15x \qquad \qquad \quad & = & -30
   \end{matrix}
-\right)
+\right.
 </math>
 </center>
-<br/>
-Ahora operamos con las dos últimas filas:
+Ahora operamos con las dos últimas ecuaciones:
-*Fila3: <math>Fila3 - 3 \cdot Fila2</math>
+*Ecu2: <math>Ecu2 : (-5)</math>
+*Ecu3: <math>Ecu3 - 3 \cdot Ecu2</math>
-<center>
-<math>
-\left(
-  \left.
-    \begin{matrix}
-      ~~4 & ~~1 & -1
-      \\
-      -5 & ~~0 & ~~0
-      \\
-      ~~0 & ~~0 & ~~0
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-  \right|
-  \begin{matrix}
-    ~~7
-    \\
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-    \\
-    ~~0
-  \end{matrix}
-\right)
-</math>
-</center>
-<br/>
-que es la matriz ampliada del sistema de ecuaciones:
-<br/>
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 </center>
-<br/>
 que es equivalente al inicial.
-<br/>
 La tercera ecuación se puede suprimir y de la segunda ecuación tenemos que <math>x=2\;</math>.

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