Números complejos: Operaciones en forma polar (1ºBach)

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Tabla de contenidos

1 Multiplicación de números complejos en forma polar
2 Potencias de números complejos en forma polar
- 2.1 Fórmula de Moivre
3 División de números complejos en forma polar
4 Radicación de números complejos en forma polar

Multiplicación de números complejos en forma polar

Producto de complejos en forma polar

El producto de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el producto de los módulos y el argumento la suma de los argumentos de los respectivos complejos.

$r_\alpha \cdot s_\beta=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}$

Demostración:

Expresando los complejos en forma trigonométrica: $r_\alpha = r \, (cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha) \, , \quad s_\beta = s \, (cos \, \beta + i \, sen \, \beta)$

$r_\alpha \cdot s_\beta=r \, (cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha) \cdot s \, (cos \, \beta + i \, sen \, \beta)=$

$=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta + i \, cos \alpha \, sen \beta + i \, sen \, \alpha \, cos \, \beta + i^2 \, sen \, \alpha \, sen \, \beta ]=$

$=r \cdot s \, [cos \alpha \, \cos \beta - sen \, \alpha \, sen \, \beta+ i \, ( cos \alpha \, sen \beta + sen \, \alpha \, cos \, \beta )]=$

$=r \cdot s \, [cos (\alpha + \beta ) + i \, sen \, ( \alpha + \beta )]=(r \cdot s)_{\alpha + \beta}$

Ejemplo:

$2_{30^\circ} \cdot 3_{60^\circ}=(2 \cdot 3)_{30^\circ + 60^\circ}=6_{90^\circ}$

Actividad interactiva: Multiplicación de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes multiplicaciones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

a) $1_{150^\circ} \cdot 5_{30^\circ}$

b) $3_{15^\circ} \cdot 2_{75^\circ}$

Actividad:

Mueve los puntos azules o, con el botón derecho sobre ellos, elige "Redefine" del menú contextual, para modificar los valores de los números complejos.

Click aquí si no se ve bien la escena

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el producto de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir del primer número complejo, el origen de coordenadas y el punto (1,0).

Potencias de números complejos en forma polar

Potencia de un complejo en forma polar

La potencia n-ésima de un compejo se obtiene de la siguiente manera:

$(r_\alpha)^n =(r^n)_{n \cdot \alpha}$

Demostración:

La potencia n-ésima de un compejo es el resultado de multiplicar dicho complejo por sí mismo n veces, por tanto, aplicando la fórmula del producto:

$(r_\alpha)^n =(r_\alpha) \cdot (r_\alpha) \cdot \cdots \cdot (r_\alpha)=(r \cdot r \cdots r)_{( \alpha + \alpha + \cdots + \alpha )}=(r^n)_{n \cdot \alpha}$

Ejemplo:

$(2_{30^\circ})^3 =(2^3)_{3 \cdot 30^\circ}=8_{90^\circ}$

Actividad interactiva: Potencias de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes potencias de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

a) $(1_{60^\circ})^4$ b) $(3_{90^\circ})^2$ c) $(2_{120^\circ})^3$ d) $(1_{45^\circ})^6$

Actividad:

Mueve los puntos azules o, con el botón derecho sobre ellos, elige "Redefine" del menú contextual, para modificar los valores de los números complejos.

Click aquí si no se ve bien la escena

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene la potencia de un complejo.

Fórmula de Moivre

Fórmula de Moivre

$(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)$

Esta fórmula debe su nombre al matemático francés Abraham de Moivre (1667-1754).

Demostración:

Basta aplicar la fórmula de la potencia de un complejo en forma polar y tener en cuenta la forma trigonométrica de un número complejo:

$(cos \, \alpha + i \, sen \, \alpha)^n=(1_\alpha)^n=(1^n)_{n \cdot \alpha}=1_{n \cdot \alpha}=cos \, (n \, \alpha) + i \, sen \, (n \, \alpha)$

División de números complejos en forma polar

División de complejos en forma polar

La división de dos numeros complejos en forma polar es otro complejo en forma polar cuyo módulo es el cociente de los módulos y el argumento la diferencia de los argumentos de los respectivos complejos.

$\cfrac{r_\alpha}{s_\beta}=\Big( \cfrac{r}{s} \, \Big)_{\alpha - \beta}$

Demostración:

Ejemplo:

$6_{60^\circ} : 3_{45^\circ}=\Big( \cfrac{6}{3} \, \Big)_{60^\circ - 45^\circ}=2_{15^\circ}$

Actividad interactiva: División de complejos en forma polar

Efectúa las siguientes divisiones de complejos en forma polar y compruébalo en la escena:

a) $5_{150^\circ} : 2_{30^\circ}$

b) $6_{225^\circ} : 3_{75^\circ}$

Actividad:

Mueve el punto azul o, con el botón derecho sobre él, elige "Redefine" del menú contextual, para modificar el valor del número complejo.

Modifica el exponente con el deslizador verde.

Click aquí si no se ve bien la escena

Utiliza el deslizador verde para comprobar cómo se obtiene el cociente de dos complejos, a partir del triángulo construido a partir de los dos..

Radicación de números complejos en forma polar

Un número complejo $w \,$ es una raíz n-ésima de otro complejo $z \,$ si se cumple que $w^n=z \,$ .

Raíces de un complejo

Un número complejo $z=R_A \,$ tiene exactamente n raíces n-ésimas $w=r_\alpha \,$ , que se obtienen de la siguiente manera:

$r_\alpha : \begin{cases} r=\sqrt[n]{R} \\ \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}$

Demostración:

Por la definición de raíz n-ésima:

$\sqrt[n]{z}=w \iff z=w^n \iff (R_A)=(r_\alpha)^n \iff R_A=(r^n)_{n \, \alpha}$

Igualando módulos ya rgumentos:

$R_A=(r^n)_{n \, \alpha} \iff \begin{cases} r^n=R \iff r=\sqrt[n]{R} \\ n \, \alpha = A + 2k \pi \iff \alpha=\cfrac{A+2k \pi}{n}\, , \quad k=0,1,\cdots,(n-1) \end{cases}$

A partir de k=n, los ángulos que se obtienen son coterminales con los ya obtenidos.

Ejemplo: Raíces de un complejo

Calcula: $\sqrt[3]{1+i}$ :

Solución:

Primero pasamos el complejo $z=1+i\,$ a forma polar:

$|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
$arg(z)=arctg \, \cfrac{1}{1}=45^\circ$

Así, $z=1+i=(\sqrt{2})_{45^\circ}$

Ahora procedemos a calcular sus 3 raíces cubicas:

$\sqrt[3]{(\sqrt{2})_{45^\circ}}=r_\alpha$ , siendo $\begin{cases} r=\sqrt[3]{\sqrt{2}} \\ \alpha=\cfrac{45^\circ +2k \pi}{3}\, , \quad k=0,1,2 \end{cases}$