Números enteros

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 10:44 24 may 2007
Coordinador (Discusión | contribuciones)

← Ir a diferencia anterior
Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)

Línea 1: Línea 1:
-{{Menú Matemáticas 3ESO+{{Menú Matemáticas Contenidos Generales
|titulo=NUMEROS ENTEROS |titulo=NUMEROS ENTEROS
-|ir= |ampliar=+|ir=
 +|ampliar=
|repasar= |repasar=
-[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/enteros1/index.htm Números enteros I]<br>+|enlaces=
-[http://descartes.cnice.mecd.es/1y2_eso/enteros2/index.htm Números enteros II]<br>+}}
-[http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias/ Potencias]+{{p}}
-|enlaces=[http://es.wikipedia.org/wiki/Numeros_enteros Números enteros]}}{{p}}+=Los números enteros=
-==Definición==+{{Introducción números enteros}}
-{{Caja Amarilla|texto=El conjunto de los '''números enteros''' es+{{p}}
-<center><math>\mathbb{Z}=\left \lbrace \cdots, -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace</math></center>}}{{p}}Son infinitos y, al igual que los [[números naturales]] sirven para contar. Sin embargo, los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.+==Números naturales==
- +Empezaremos recordando primero qué eran los números naturales.
 +{{p}}
 +{{Def_cto_num_naturales}}
 +{{p}}
 +===Representación de los números naturales===
Podemos representarlos en una recta: Podemos representarlos en una recta:
-<center>[[Imagen:recta_enteros.png|500px]]</center>+<center>[[Imagen:recta_naturales.png|500px]]</center>
{{p}} {{p}}
- +{{Video: Numeros naturales. Numeros primos}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Números enteros''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Introducción al conjunto de los números enteros.+
-|actividad=+
-En la escena adjunta te presentamos unos ejemplos en los que se muestra la necesidad de utilizar números enteros. +
-Sigue las instrucciones que te van apareciendo en escena y anota los ejemplos en tu cuaderno.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/introduccionenteros_1.html+
-width=550+
-height=550+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Representación de los números enteros en la recta numérica.+
-|actividad=+
-En esta escena vas a conocer como se representan los números enteros en la recta numérica.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/rectanumerica_1.html+
-width=100%+
-height=500+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +----
 +Para más información: [[Números naturales]]
-==Orden==+==Números negativos y positivos==
-En el gráfico anterior se observa el orden que existe en el conjunto de los números enteros, siendo los números negativos menores que los positivos y que el cero. Se cumple que:+{{Números negativos y positivos}}
-<center><math>Si\ a<b,\ entonces\ -b<-a\quad \forall\;a,\ b \in \mathbb{N}</math></center>+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Orden en los números enteros''|cuerpo=+===Utilidad de los números negativos y positivos===
-{{ai_cuerpo+{{Utilidad de los números negativos y positivos}}
-|enunciado=1. ¿Cómo se ordenan los números enteros?.+
-|actividad=+
-En esta escena aprenderás a comparar números enteros. Anota lo que aprendas en tu cuaderno.+
- +
-Lee atentamente las indicaciones. Pulsa INICIO cada vez que quieras ver un ejemplo nuevo. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/ordenenz_1.html+
-width=100%+
-height=525+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Autoevaluación.+
-|actividad=+
-En esta escena deberas decir que número es el mayor. Anota los resultados en tu cuaderno.+
- +
-Pulsa INICIO cada vez que quieras ver un ejemplo nuevo. +
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/ordenenz_2.html+
-width=500+
-height=325+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
- +
-}}+
- +
-==Operaciones==+
-===Opuesto===+
-El opuesto de un número entero ''a'' es otro número entero ''-a''.+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Opuesto de un número entero''|cuerpo=+==Números enteros==
-{{ai_cuerpo+{{Números enteros 1ºESO}}
-|enunciado=1. Calcula el opuesto de un número entero.+
-|actividad=+
-Cambia, utilizando el pulsador, los valores y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/opuesto_1.html+
-width=450+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-a) ¿Cuál es el opuesto de cero?{{p}}+
-b) Si el número es negativo ¿qué signo tiene su opuesto?{{p}}+
-c) Si el número es positivo ¿qué signo tiene su opuesto?+
- +
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
- +===Representación de los números enteros===
-===Valor absoluto===+{{Representación de los números enteros 1ºESO}}
-{{Caja Amarilla|texto=El '''valor absoluto''' de un número entero ''a'' es su magnitud, prescindiendo del signo. Se escribe <math>|a|\;\!</math> y se define del siguiente modo:+
-<center><math>|a|= \begin{cases} \ \ a & \mbox{si }a>0 \\ -a & \mbox{si }a<0 \end{cases}</math></center>}}+
{{p}} {{p}}
-Por ejemplo, <math>|-3|=3 \,\!</math> y <math>|5|=5 \,\!</math>.<br>+===Valor absoluto de un entero===
- +{{Valor Absoluto Entero}}
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Valor absoluto de un número entero''''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Calcula el valor absoluto de un número entero.+
-|actividad=+
-Cambia, utilizando el pulsador, los valores y contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/valorabs_1.html+
-width=450+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Contesta en tu cuaderno las siguientes preguntas:+
- +
-a) ¿Cuál es el valor absoluto de cero?{{p}}+
-b) ¿Qué signo tiene el valor absoluto de un número negativo? ¿Y de uno positivo?+
-c) ¿El valor absoluto de un número puede ser negativo?+
- +
- +
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
- +===Opuesto de un entero===
-===Suma y resta===+{{Opuesto de un entero}}
-La '''suma''' de números enteros es otro número entero. La '''resta''' de números enteros es otro número entero resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.+
- +
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Suma de números enteros''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Practica la suma de números enteros.+
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-* '''Suma de dos números enteros:'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_1.html+
-width=450+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-* '''Suma de tres números enteros (Agrupando los que tienen el mismo signo):'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_2.html+
-width=450+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-* '''Suma de tres números enteros (Agrupandolos de dos en dos):'''+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/enteros1_3.html+
-width=450+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
- +===Orden en el conjunto de los enteros===
-===Jerarquía de las operaciones===+{{Orden en el conjunto de los enteros}}
-Al operar con números enteros se atiende a la misma [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Jerarqu.C3.ADa_de_las_operaciones jerarquia de las operaciones con naturales].{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Uso del paréntesis''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Operaciones con paréntesis:+
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-* '''Operaciones sencillas con paréntesis:'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/parentesis_1.html+
-width=550+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-* '''Más operaciones con paréntesis:'''+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/parentesis_2.html+
-width=650+
-height=400+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=2. Operaciones combinadas:+
-|actividad=+
-En esta actividad debes marcar en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión. Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá.+
- +
-Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.+
- +
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-{{Caja|contenido=<iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enteros2/opcombin_1.html+
-width=450+
-height=350+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
-}}+
-}}+
- +
{{p}} {{p}}
- +==Actividades==
-===Multiplicación===+{{Actividades: numeros enteros}}
-====Regla de los signos====+
-Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo. Y si tienen distinto signo, el producto es un entero negativo. Ésto es:+
-{{caja|contenido=+
-<center><math>(+) \cdot (+) = (+)</math></center>+
-<center><math>(-) \cdot (-) = (+)</math></center>+
-<center><math>(+) \cdot (-) = (-)</math></center>+
-<center><math>(-) \cdot (+) = (-)</math></center>+
-}}{{p}}+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Regla de los signos''''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Practica el producto de números enteros.+
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/Multiplicar_1.html+
-width=500+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +=Operaciones con números enteros=
 +{{Introducción operaciones con enteros}}
 +{{p}}
 +Las operaraciones con enteros son similares a las [[Números naturales: Operaciones | operaciones con naturales]], pero con las peculiaridades que aportan los números negativos. Veamos un video a modo de introducción.
-===División===+{{Video_enlace_julioprofe
-La división de números enteros, al igual que la [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Divisi.C3.B3n división con números naturales], no siempre es otro entero.+|titulo1=Operaciones con enteros
-Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos.+|duracion=5'53"
- +|sinopsis=Breve resumen de las operaciones con enteros.
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''División de números enteros''|cuerpo=+|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Sj9rThGLz9Q
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Practica el cociente de números enteros.+
-|actividad=+
-Introduce el resultado con el teclado y pulsa "intro".+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-Aplicaremos la regla de lo signos al igual que con el producto:+
- +
-{{caja|contenido=+
-<center><math>(+) : (+) = (+)\;\!</math></center>+
-<center><math>(-) : (-) = (+)\;\!</math></center>+
-<center><math>(+) : (-) = (-)\;\!</math></center>+
-<center><math>(-) : (+) = (-)\;\!</math></center>+
-}}{{p}}+
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/enterosdesp/dividir_1.html+
-width=500+
-height=300+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
- +==Suma y resta de enteros==
-===Potencias===+===Suma y resta de dos números enteros===
-Los enteros cumplen las mismas [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales#Potenciaci.C3.B3n propiedades de las potencias de los números naturales].+{{Suma y resta de dos números enteros}}
-{{Caja Amarilla|texto='''Potencia de base negativa:'''<br>+{{p}}
-Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.+===Suma y resta de más de dos números enteros===
-}}+{{Suma y resta de más de dos números enteros}}
-<br>+
-Por ejemplo:<math>(-2)^3=-8 \,\!</math> y <math>(-2)^4=16 \,\!</math>.+
-<br>+
-{{Caja Amarilla|texto='''Potencia de exponente negativo:'''<br>+
-Se define la potencia de exponente negativo como:{{p}}+
-{{Caja|contenido=<math>a^{-n}= \cfrac {1}{a^n}</math>}}+
-}}+
-<br>+
-Por ejemplo:<math>2^{-3}=\cfrac{1}{2^3}=\cfrac{1}{8}</math>.+
-<br>+
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Potencias de números enteros''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Potencias de base negativa.+
-|actividad=+
-Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-a) <math>(-3)^4</math>{{b}}b) <math>(-4)^5</math>{{b}}c) <math>(-10)^5</math>{{b}}d) <math>(-2)^{10}</math> +
- +
-{{Caja|contenido=<iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias31_1.html+
-width=450+
-height=250+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
- +
-Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado=1. Potencias de exponente negativo.+
-|actividad=+
-Calcula las siguientes potencias y comprueba los resultados en la escena siguiente:+
- +
-a) <math>3^{-5}</math>{{b}}b) <math>5^{-3}</math>{{b}}c) <math>7^{-2}</math>{{b}}d) <math>2^{-7}</math> +
- +
-{{Caja|contenido=<iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/3_eso/Potencias/potencias31_2.html+
-width=450+
-height=250+
-name=myframe+
-</iframe>}}+
- +
-Usa los pulsadores o el teclado para modificar los valores de la base y del exponente.+
-Pulsa INICIO cada vez que quieras iniciar uno nuevo. Anota en tu cuaderno los resultados.+
- +
-Si obtienes resultados un poco "extraños" prueba a aumentar el número de decimales del resultado en el control de la parte de arriba. +
-}}+
- +
-}}+
{{p}} {{p}}
 +===Propiedades de la suma y de la resta de números enteros===
 +{{Propiedades de la suma y de la resta de números enteros}}
 +{{p}}
 +{{Multiplicación y cociente de números enteros}}
 +{{p}}
 +==Potencias de números enteros==
 +{{Potencias enteros}}
 +{{p}}
 +==Raíces cuadradas de números enteros==
 +La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales.
-==Ejercicios y problemas==+Ver: [[Raíz cuadrada (1º ESO)|'''Raíz de un número natural''']]
-===Ejercicios===+
-{{ejercicio+
-|titulo=Ejercicios+
-|cuerpo=+
- +
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''1. '''Ordena los siguientes números enteros: -3, -16, 2, -7, 9, 0.+
-|sol=+
-<math>-16<-7<-3<0<2<9</math>+
-}}+
-{{ejercicio_cuerpo+{{Def raiz cuadrada}}
-|enunciado=+
-'''2. '''Calcula:+
-:a) <math>|-13| \,\!</math>{{b}}b) <math>|(2-8)-4| \,\!</math>{{b}}c) <math>||3-5|-|2-11||\,\!</math>+
{{p}} {{p}}
-|sol=+===Número de soluciones de una raíz cuadrada===
-a) 13{{b}}b) 10{{b}}c) 7+{{Número de soluciones de una raíz cuadrada}}
-}}+
- +
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''3. '''Calcula:+
-:a) <math>16-(9-5)-5+2= \,\!</math>+
-:b) <math>(-15-13)-9-(2-12+6)= \,\!</math>+
-:c) <math>(-3) \cdot [5 \cdot (8-6) -3 \cdot (3-7)]=</math>+
{{p}} {{p}}
-|sol=+===Raíces cuadradas con la calculadora===
-a) 9{{b}}b) -33{{b}}c) -66+{{Raíces cuadradas con la calculadora}}
 +{{p}}
 +===Raíces de otros índices (Ampliación)===
 +{{AI_melide
 +|titulo1=Raíces de otros índices
 +|descripcion=Actividades sobre raíces de índice mayor que 2.
 +|url1=http://maralboran.org/web_ma/Melide/Potencias_y_raices/AMPLIACION_Raicesdeotrosindices.html
}} }}
- 
-{{ejercicio_cuerpo 
-|enunciado= 
-'''4. '''Calcula: 
-:a) <math>(-2)^3 \,\!</math>{{b}}b) <math>-2^4 \,\!</math>{{b}}c) <math>(-2)^6 \,\!</math>{{b}}d) <math>(-1)^{10} \,\!</math>{{b}}e) <math>(-1)^{11}\,\!</math>{{b}}f) <math>-2^0 \,\!</math> 
{{p}} {{p}}
-|sol=+==Operaciones combinadas con números enteros==
-a) -8{{b}}b) -16{{b}}c) 64{{b}}d) 1{{b}}e) -1{{b}}f) -1 +{{Jerarquía de las operaciones con números enteros}}
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +{{Ejemplos operaciones con enteros}}
 +{{p}}
 +==Calculadora==
 +===Suma, resta, multiplicación y división===
 +{{Casio FX-100MS: Suma, resta, multiplicación y división}}
 +{{p}}
 +===Opuesto===
 +{{Casio FX-100MS: Opuesto}}
 +{{p}}
 +===Paréntesis===
 +{{Casio FX-100MS: Paréntesis}}
 +{{p}}
 +===Potencias===
 +{{Casio FX-100MS: Potencias}}
 +{{p}}
 +==Ejercicios y problemas==
 +{{wolfram operaciones enteros}}
 +{{p}}
 +{{Problemas con enteros}}
-===Problemas=== 
-{{ejercicio 
-|titulo=Problemas 
-|cuerpo= 
-{{ejercicio_cuerpo+[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Números]]
-|enunciado=+
-'''1. ''' Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?+
-|sol=+
-1' 12"+
-}}+
- +
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''2.''' Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C.?+
-|sol=+
-2.589 años+
-}}+
- +
-{{ejercicio_cuerpo+
-|enunciado=+
-'''3. '''Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?+
-|sol=+
-2.300 m.+
-}}+
-}}+

Revisión actual

Tabla de contenidos

Los números enteros

Estamos acostumbrados a utilizar números en multitud de ocasiones. Al levantarnos vemos la hora en el despertador, al calentar algo en la cocina puede que aparezca marcada la potencia con un entero, el precio de cualquier cosa que compremos está marcada con números, ...

En muchas situaciones utilizamos incluso valores negativos: "Pulsa el -1 para bajar al primer sótano", "¡Qué frío hace hoy! El termómetro marca 5º bajo cero (-5º)".

Los primeros en usar números negativos fueron los chinos, que utilizaban ábacos con varillas de distintos colores para diferenciar los positivos de los negativos. En Europa, sin embargo, fue más difícil su aceptación y grandes matemáticos como Descartes o Cardano se referían a los negativos como "números falsos". A partir del siglo XVIII y gracias al trabajo, entre otros, de Euler, su uso se universalizó y se convirtieron en parte esencial de las matemáticas.

Números naturales

Empezaremos recordando primero qué eran los números naturales.

El conjunto de los números naturales es:

\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

  • Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
  • Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
  • Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.







Representación de los números naturales

Podemos representarlos en una recta:


Para más información: Números naturales

Números negativos y positivos

  • Los números negativos son los números menores que cero. Para representarlos se les pone un signo menos (-) delante:

-1, -2, -3,...\;


  • Los números positivos, son los mayores que cero. Pueden ir precedidos de un signo más (+), pero es habitual no ponerlo:

+1 = 1, \ +2 = 2, \ +3 = 3, \ ... \;

Reglas:

  • Los números negativos se escriben precedidos del signo menos (-).
  • Si un número lleva signo + o no lleva signo entenderemos que es positivo.
  • En las operaciones, los números negativos se escriben entre paréntesis cuando queremos evitar que aparezcan dos símbolos de operación seguidos.

Utilidad de los números negativos y positivos

Los números positivos nos sirven para expresar muchas situaciones de la vida cotidiana. Sin embargo, no siempre nos sirven para representar situaciones contrarias que requieren del uso de números negativos, como un saldo deudor en una cuenta bancaria, una temperatura bajo cero, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Los números negativos y positivos, además de servir para representar cantidades fijas, también se pueden utilizar para expresar variaciones que sufre una magnitud.

ejercicio

Ejemplo:


Expresa numéricamente cada enunciado:

a) Juan ha bajado de la planta 3ª a la 1ª.
b) La temperatura ha bajado 3ºC.
c) Juani ha sacado 3500 € de su cuenta corriente.
d) El ascensor subió tres pisos.
e) Me han tocado 200 € en la lotería.
f) He perdido una cartera con 47 €.
g) Jesús ha engordado 2 kg.

Utilidad de los números enterosde http://e-junior.net & http://matematica.cubaeduca.cu
Aumentar
Utilidad de los números enteros

de http://e-junior.net & http://matematica.cubaeduca.cu

Números enteros

Con los números naturales no era posible realizar diferencias donde el minuendo era menor que el que el sustraendo, pero en la vida nos encontramos con operaciones de este tipo donde a un número menor hay que restarle uno mayor. Nos vemos obligados a ampliar el concepto de números naturales, introduciendo un nuevo conjunto numérico llamado números enteros.

El conjunto de los números enteros

\mathbb{Z}=\left \lbrace -3, -2,-1,\ 0,\ 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Está formado por:

  • El conjunto de los números naturales o enteros positivos : \mathbb{Z}^+=\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace.
  • Sus opuestos, los enteros negativos: \mathbb{Z}^-=\left \lbrace \cdots, -1 ,\ -2,\ -3, \cdots \right \rbrace.
  • El cero (0).

Como consecuencia, \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}, que se lee: "el conjunto de los números naturales está incluido en el conjunto de los números enteros".

Los números enteros son infinitos y, al igual que los números naturales sirven para contar. Sin embargo, los números enteros permiten expresar cantidades negativas como un saldo deudor en una cuenta bancaria, un año de la era antes de Cristo, el número de una planta del sótano de un edificio, etc.

Representación de los números enteros

ejercicio

Representación de los números enteros


Los números enteros podemos representarlos en una recta:

  • Sobre ella marcamos el número cero.
  • A la derecha del cero, y a distancias iguales, se van señalando los números positivos: 1, 2, 3, ...
  • A la izquierda del cero, y a distancias iguales que las anteriores, se van señalando los números negativos: −1, −2, −3, ...

Valor absoluto de un entero

El valor absoluto de un número entero a\; se representa por |a|\; y se define de la siguiente manera:

  • Si el número es positivo, su valor absoluto es él mismo.
  • Si el número es negativo, su valor absoluto es igual a su opuesto.

ejercicio

Propiedades


  • El valor absoluto de un número es la distancia que lo separa del cero en la recta numérica.
  • El valor absoluto de un número siempre es positivo o cero.
  • El valor absoluto de cero es cero.

Opuesto de un entero

El opuesto de un número entero, a\;\!, es otro número entero, -a\;\!, simétrico de a\;\! respecto del cero. En consecuencia, se encuentra a la misma distancia del cero que a\;\!, pero tiene signo contrario. Lo escribiremos Op(a)=-a\;.



Orden en el conjunto de los enteros

En la representación de los números enteros en la recta numérica se observa el orden que existe en dicho conjunto.

Un número es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

ejercicio

Relación de orden


Dados dos números, a\; y b\;, se dará uno de los siguientes casos:

  • El primero es menor que el segundo: a<b\; (Se lee "a es menor que b").
  • El primero es igual que el segundo: a=b\; (Se lee "a es igual que b").
  • El primero es mayor que el segundo: a>b\; (Se lee "a es mayor que b").



ejercicio

Propiedades


  • Todo número negativo es menor que cero y todo número positivo es mayor que cero.
  • Si dos números son positivos, el mayor es el que tiene mayor valor absoluto.
  • Si dos números son negativos, el mayor es el que tiene menor valor absoluto.
  • Si a > b\;, entonces -b > -a \;

Actividades

Operaciones con números enteros

Un toque divertido para empezar el tema:

Las operaraciones con enteros son similares a las operaciones con naturales, pero con las peculiaridades que aportan los números negativos. Veamos un video a modo de introducción.

Suma y resta de enteros

Suma y resta de dos números enteros

Sabemos que los números enteros pueden tener signo positivo (un más o nada delante del número) o signo negativo (un menos delante del número). Sin embargo, cuando dos enteros aparecen juntos, sus signos expresan una operación.

  • Suma: Siempre que vemos dos enteros juntos, sin más separación entre ellos que sus signos, lo que tenemos delante es una suma. Para realizar esa suma puedes guiarte por la lógica: los números negativos representan pérdidas, los positivos ganancias y el resultado de la operación es el balance entre ganancias y pérdidas.
  • Resta: La resta de números enteros es el resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

Siguiendo esa lógica de balance entre pérdidas y ganancias, para sumar números enteros seguiremos las siguientes reglas:

ejercicio

Procedimiento: Suma de números enteros


Dependiendo del signo de los dos números a sumar, tenemos que:

  • Si tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo que tenían los números.
  • Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Suma y resta de más de dos números enteros

Cuando sumemos más de dos números enteros podemos proceder de dos formas:

  • Método 1: Sumar los positivos por un lado y los negativos por otro y, después, efectuar la resta de los resultados.
  • Método 2: Ir sumando o restando paso a paso, de izquierda a derecha.

Propiedades de la suma y de la resta de números enteros

ejercicio

Propiedades de la suma


  • Operación interna: el resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.
a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a + b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,
  • Elemento opuesto: Todo número entero, a\;, tiene un opuesto, -a\;, que al sumarse con él da el elemento neutro.

a + (-a) = 0\;

ejercicio

Propiedades de la resta


  • Operación interna: el resultado de restar dos números enteros es otro número entero.
a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a - b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: No se cumple
  • Propiedad asociativa: No se cumple

Multiplicación o producto de números enteros

ejercicio

Regla de los signos para el producto


  • Si dos números enteros tienen el mismo signo su producto es un entero positivo.
  • Si dos números enteros tienen distinto signo, el producto es un entero negativo.
(+) \cdot (+) = (+)
(-) \cdot (-) = (+)
(+) \cdot (-) = (-)
(-) \cdot (+) = (-)



Propiedades del producto de números enteros

ejercicio

Propiedades de la multiplicación


  • Operación interna: El producto de dos números enteros es otro número entero:
a , \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{Z}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,



La propiedad distributiva tiene una especie de propiedad "recíproca" que llamaremos sacar factor comun. En realidad es la misma propiedad, pero usada "al revés". La idea es buscar un divisor común a todos los sumandos que tengamos y "sacarlo" fuera del paréntesis en el que meteremos al resultado de dividir a cada uno de los sumandos por ese factor.



División o cociente de números enteros

ejercicio

Regla de los signos para el cociente


Con la división , al igual que con la multiplicación, se aplica la misma regla de los signos:

(+) : (+) = (+)\,
(-) : (-) = (+)\,
(+) : (-) = (-)\,
(-) : (+) = (-)\,

Propiedades de la división de números enteros

ejercicio

Propiedades de la división de números enteros


  • La división de de números enteros no siempre es un número entero.
  • La división de números enteros no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.

Al no tener la división de números enteros la propiedad asociativa, si aparecen varias divisiones consecutivas, sin paréntesis, tienen que hacerse de izquierda a derecha.

Actividades y videotutoriales

Potencias de números enteros

Los siguientes videotutoriales condensan lo que vamos a ver en este apartado sobre potencias de números enteros:


Definición de potencia

La definición de potencia de exponente entero es la misma que la de números naturales.

Ver: Potencias de números naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix}  a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.



Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Signo de la potencia

ejercicio

Signo de la potencia


Dependiendo del signo de la base tenemos dos posibilidades:

  • Base positiva: Al elevar un número positivo a una potencia, el resultado es positivo.
  • Base negativa: Al elevar un número negativo a una potencia, el resultado es positivo si el exponente es par y negativo si es impar.

Propiedades de las potencias de enteros

Las potencias de números enteros cumplen las mismas propiedades que las potencias de números naturales.

Ver: Propiedades de las potencias de números naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias


1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

Raíces cuadradas de números enteros

La definición de raíz cuadrada de un número entero es la misma que la dada para números naturales.

Ver: Raíz de un número natural

La raíz cuadrada de un número a\; es otro número b\; que elevado al cuadrado da a\;. Simbólicamente:

\sqrt{a}=b \ \iff \ b^2=a

Al número a\; se le llama radicando y al número b\; se le llama raíz.

Número de soluciones de una raíz cuadrada

Dependiendo del signo del número entero, su raíz puede existir o no. Tenemos los dos casos siguientes:

ejercicio

Número de soluciones de la raíz cuadrada


  • La raíz cuadrada de un número entero positivo tiene dos soluciones iguales pero opuestas en signo, que no siempre son números enteros.
  • La raíz cuadrada de un número entero negativo no existe.

Raíces cuadradas con la calculadora

Calculadora

Calculadora: Raíz cuadrada


Para calcular raíces cuadradas usaremos la tecla Raíz cuadrada.

Raíces de otros índices (Ampliación)

Operaciones combinadas con números enteros

A la hora de operar con números enteros utilizaremos la misma jerarquía de operaciones que con números naturales:

Ver: Jerarquía de las operaciones con números naturales

ejercicio

Jerarquía de las operaciones


A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.



ejercicio

Ejercicio resuelto: Operaciones combinadas con enteros


        a) [8-(-6)]:(+7)+(-9)\;

        b) 18-(-2) \cdot[(+15):(8-11)]\;

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división


Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Opuesto

Calculadora

Calculadora: Opuesto


Para poner el opuesto de un número usaremos la tecla Cambio de signo.

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis


Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias


Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Ejercicios y problemas

ejercicio

Problemas: Operaciones con enteros


1. Estamos en la planta 345 de un gran rascacielos del futuro y bajamos en ascensor a la planta -15. ¿Cuánto tiempo tardaremos si el ascensor tarda 1 segundo en bajar 5 pisos?
2. Pitágoras, filósofo y matemático griego, nació el año 582 a.C. y murió el año 496 a.C. ¿A qué edad murio? ¿Cuántos años han pasado hasta el año 2007 d.C. desde su muerte?
3. Durante el ascenso a una montaña, la temperatura desciende 2 grados cada 200 m de ascenso. ¿A qué altura habrá que ascender para alcanzar -15ºC, si en el punto de partida, la temperatura es de 5ºC y este está a una altitud de 300 m?
Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda