Números enteros: Suma y resta (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Suma y resta de dos números enteros
3 Suma y resta de más de dos números enteros
4 Propiedades de la suma y de la resta de números enteros
5 Ejercicios propuestos

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Introducción

Un toque divertido para empezar el tema:

Las aventuras de Troncho y Poncho: Operaciones con enteros (7'41") Sinopsis:

Troncho no quiere saber nada de números naturales, ni enteros, ni como se opera con ellos.

Puedes encontrar ejercicios sobre este vídeo y material similar en: http://www.angelitoons.com/

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Suma y resta de dos números enteros

Sabemos que los números enteros pueden tener signo positivo (un más o nada delante del número) o signo negativo (un menos delante del número). Sin embargo, cuando dos enteros aparecen juntos, sus signos expresan una operación.

Suma: Siempre que vemos dos enteros juntos, sin más separación entre ellos que sus signos, lo que tenemos delante es una suma. Para realizar esa suma puedes guiarte por la lógica: los números negativos representan pérdidas, los positivos ganancias y el resultado de la operación es el balance entre ganancias y pérdidas.

Resta: La resta de números enteros es el resultado de sumar el primero con el opuesto del segundo.

Ejemplo

Por ejemplo, si vemos escrito:

$-3+5\;$

sabemos que uno es negativo y el otro es positivo, pero al mismo tiempo estamos indicando una cuenta. Algo así como "perdemos 3, pero ganamos 5". Lógicamente, el resultado es que "ganamos 2", es decir:

$-3+5=+2\;$

Lo que realmente sucede es que estamos haciendo una suma de número enteros, pero omitimos el símbolo de la operación, por economía del lenguaje. En realidad deberíamos escribir:

$(-3)+(+5)=+2\;$

Siguiendo esa lógica de balance entre pérdidas y ganancias, para sumar números enteros seguiremos las siguientes reglas:

Procedimiento: Suma de números enteros

Dependiendo del signo de los dos números a sumar, tenemos que:

Si tienen el mismo signo, se suman los valores absolutos y se pone el mismo signo que tenían los números.
Si tienen distinto signo, se restan los valores absolutos (el mayor valor absoluto menos el menor) y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplos

a) $+5 + 2 = +7\;$

b) $-4 - 5 = -9\;$

c) $+2 - 8 = -6\;$

d) $-2 + 8 = +6\;$

¿Qué pasa en cada situación?

En el primero los dos son positivos (ganancias) y el resultado es la suma de esas ganancias.
En el segundo los dos son negativos (pérdidas) y el resultado es la suma de esas pérdidas.
En el tercero tienen signos distintos, pero las pérdidas son mayores que las ganancias, así que el resultado es negativo.
En el cuarto tienen signos distintos, pero las ganancias son mayores que las pérdidas, así que el resultado es positivo.

Suma y resta de dos números enteros

Tutorial 1a (3'43") Sinopsis:

Tutorial que usa el símil de las batallas entre soldados para explicar la suma de números enteros, según tengan o no el mismo signo.

Tutorial 1b (1'54") Sinopsis:

Ejemplo sobre lo explicado en el tutorial anterior.

Tutorial 1c (1'45") Sinopsis:

El mismo ejemplo del tutorial 1b por otro método (agrupando primero los del mismo signo).

Tutorial 1d (1'31") Sinopsis:

Un error frecuente.

Tutorial 2 (4'02") Sinopsis:

Ejemplos de como se suman números enteros, según tengan o no el mismo signo.

Tutorial 3 (5'59") Sinopsis:

Ejemplos de como se suman números enteros, según tengan o no el mismo signo, usando la recta numérica.

Tutorial 4a (suma) (12'21") Sinopsis:

Suma de números enteros.

Tutorial 4b (resta) (9'59") Sinopsis:

Resta de números enteros.

Tutorial 5a (suma) (15'01") Sinopsis:

Suma de números enteros.

Tutorial 5b (resta) (11'34") Sinopsis:

Resta de números enteros.

Tutorial 5c (suma con recta numérica) (10'42") Sinopsis:

Interpretación geométrica de la suma de números enteros.

Tutorial 6 (5'14") Sinopsis:

Suma y resta de números enteros.

Ejercicio 1 (5'49") Sinopsis:

Calcula:

a) $-2+10\;$ b) $-5-5\;$ c) $-3+4\;$ d) $9+1\;$

e) $-3+3\;$ f) $-8+1\;$ g) $1-8\;$ h) $-1+8\;$ i) $-6-10\;$

Suma y resta de dos números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que se te plantean problemas para practicar la suma y resta de dos números enteros.
Actividad para calcular la suma o resta de dos números enteros.

Autoevaluación 1 Descripción:

Suma y resta de dos números enteros.

Autoevaluación 2 Descripción:

Sumas y restas con 2 números enteros.

Aviso:

Si tienes problemas con la actividad a la hora de escribir las soluciones en los recuadros, haz lo siguiente:

Haz click con el ratón en el cuadro donde va la repuesta.
Pulsa "Enter".
Te aparecerá el cursor y ya podrás escribir la solución.

Autoevaluación 3 Descripción:

Suma y resta de dos números enteros.

Autoevaluación 4 Descripción:

Suma de dos números enteros.

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Suma y resta de más de dos números enteros

Cuando sumemos más de dos números enteros podemos proceder de dos formas:

Método 1: Sumar los positivos por un lado y los negativos por otro y, después, efectuar la resta de los resultados.
Método 2: Ir sumando o restando paso a paso, de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Calcula: $2 -7 + 6 -3\;$

Solución:

Método 1: $2-7+6-3+7 = 2+6-7-3 = 8-10 = -2\;$

Método 2: $2-7+6-3 = -5+6-3 = 1-3 = -2\;$

Suma y resta de más de dos números enteros

Tutorial 1 (4'02") Sinopsis:

Ejemplos de como se suman más de dos números enteros por los 2 métodos antes descritos.

Tutorial 2 (3'59") Sinopsis:

Ejemplos de como se suman números enteros, según tengan o no el mismo signo, usando la recta numérica.

Ejercicio 1 (8'20") Sinopsis:

Calcula:

a) $-2+1+5-3-2+5+1-5+3\;$

b) $1+9-2-8+3-7+4+6-5\;$

Ejercicio 2 (5'40") Sinopsis:

Calcula:

a) $2-5+3+1-2+4\;$

b) $1-4+3+3-8-2\;$

c) $2+4-1-6+2-4-2+1+8\;$

Suma y resta de más de dos números enteros

Actividad 1 Descripción:

Actividad en la que se te plantean problemas para practicar la suma y resta de tres números enteros por dos métodos.
Actividad para calcular la suma o resta de tres números enteros.

Actividad 2 Descripción:

Actividad para calcular la suma de más de tres números enteros.

Actividad 3 Descripción:

Actividad para calcular la suma de más de tres números enteros.

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Propiedades de la suma y de la resta de números enteros

Propiedades de la suma

Operación interna: el resultado de sumar dos números enteros es otro número entero.

$a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a + b \in \mathbb{Z}$

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

$0 + a = a \,$

Elemento opuesto: Todo número entero, $a\;$ , tiene un opuesto, $-a\;$ , que al sumarse con él da el elemento neutro.

$a + (-a) = 0\;$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + (-6) = -6 + 8\,$

$2 = 2\,$

Asociativa:

$( -3 + 2 ) + 6 = -3 + ( 2 + 6 )\,$

$-1 + 6 = -3 + 8\,$

$5 = 5\,$

Elemento neutro:

$(-3) + 0 = -3\,$

Elemento opuesto:

$(-5) + 5 = 0\,$

Esto es, el opuesto de 5 es -5 y el opuesto de -5 es 5. Por tanto, decimos que 5 y -5 son opuestos.

Propiedades de la suma

Tutorial (12'58") Sinopsis:

Propiedades de la suma de números enteros. Ejemplos (1ª parte)

Ejercicio 1 (14'51") Sinopsis:

1) Calcula:

a) (-5)+(+7)

b) (+3)+(-2)

c) (-2)+(+4)+(+3)

d) (-7)+(-5)+(-1)

e) (-3)+(-9)+(-6)

2) Completa la tabla: (Ejercicio sobre el opuesto de un número entero)

3) Completa:

a) (-7)+ ... = 0

b) (+4)+ ... = 0

c) ... +(-5) = 0

d) ... +(+3) = 0

4) Transforma las restas en sumas y después calcula:

a) (+5)-(-3) =

b) (+4)-(+2) =

c) (+8)-(-8) =

5) Calcula:

a) (-6)-(+3) =

b) (+3)-(-6) =

Observando esto, ¿tiene la resta la propiedad conmutativa?

Ejercicio 2 (13'20") Sinopsis:

1) Calcula:

a) (+5)-[(+4)-(-5)]=

b) [(+5)-(+4)]-(-2)=

Observando esto, ¿tiene la resta la propiedad asociativa?

2) Calcula:

a) Op[(+5)+(+3)]=

b) Op[(-4)+(-2)]=

c) Op[(-5)+(-2)]=

d) Op[Op(-5)]=

3) Calcula Op[(-5)-(+2)].

4) Contesta:

a) ¿Cuál es el opuesto del opuesto de -3?

b) ¿Y el opuesto del opuesto de +5?

Ejercicio 3 (16'29") Sinopsis:

1) Calcula:

a) (+7)+(-3)+(-4)=

b) (+5)+(-4)+(-2)=

c) (-3)+(-5)+(-4)=

d) (-7)+(-10)+(-3)=

2) Calcula:

a) (-5)-(-8)=

b) (-20)-(-40)=

c) (+55)-(-25)=

d) (-35)-(-55)=

3) Calcula:

a) -(-3)=

b) -(-5)=

c) -(-20)=

d) -(-17)=

4) ¿Qué propiedades de la suma se dan en las siguientes igualdades?

a) (+5)+(-3) = (-3)+(+5)

b) (-7)+0- = -7

c) [(+1)+(-4)]+(+2) = (+1)+[(-4)+(+2)]

d) (+15)+(-15) = 0

5) Contesta:

a) ¿Cuál es el elemento neutro de la suma de números enteros? ¿Por qué?

b) Calcula el opuesto del opuesto de 3. ¿Cuál es el opuesto del opuesto de un número entero?

c) ¿Puede ser la diferencia de dos números enteros negativos un número entero positivo? Pon ejemplos.

d) ¿Cuál es la suma de dos números opuestos?

e) ¿Tiene la resta de números enteros la propiedad conmutativa? Pon un ejemplo.

f) ¿Qué propiedad de la suma de números enteros no la tiene la suma de números naturales?

g) ¿En qué parte de la recta están situados los opuestos de los números enteros positivos?

Propiedades de la resta

Operación interna: el resultado de restar dos números enteros es otro número entero.

$a, \, b \in \mathbb{Z} \Rightarrow a - b \in \mathbb{Z}$

Propiedad conmutativa: No se cumple
Propiedad asociativa: No se cumple

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Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Sumas y restas de números enteros

(Pág. 69)

3a,d; 4a,b,d,e; 8a,d,f; 11a,d,e; 13

1, 2, 5, 6, 7, 9, 12, 14

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Categorías: Matemáticas | Números

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