Números naturales

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===Jerarquía de las operaciones con naturales=== ===Jerarquía de las operaciones con naturales===
A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas: A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:
-{{Caja Amarilla|texto=Se efectúan primero el contenido de los '''paréntesis'''. De las operaciones, la de mayor prioridad es la '''potenciación''', seguida de la '''multiplicación''' y las '''división''' y, para terminar, la '''suma''' y la '''resta'''. 
-Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.}} 
-{{p}} 
-{{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Jerarquía de las operaciones''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado=1. Operaciones combinadas. 
-|actividad= 
-En esta actividad debes escribir en la ventana bajo la escena el número que sigue al resolver la expresión y pulsar "intro". Cuando el número marcado sea el correcto aparecerá en la escena, si no es el correcto no aparecerá. 
-Debes hacerlo sucesivamente, paso a paso, para ello debes borrar el número anterior. No se trata de que halles directamente el resultado final.+{{Jerarquia naturales}}
- +
-Al picar sobre inicio aparecerá otra expresión diferente de operaciones combinadas. Resuelve varias de ellas.+
- +
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-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/naturales2/opcombin_1.html+
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-}}+
-}}+
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==Ejercicios y problemas== ==Ejercicios y problemas==

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Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

  • Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
  • Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
  • Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

ejercicio
Advertencia:

Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero (0) puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Dependiendo del área de las matemáticas, el conjunto de los números naturales puede incluir o no al cero.

ejercicio
Ejemplos

Veamos distintos ejemplos de uso de los números naturales:

  • Como número cardinal: Los días de la semana son 7.
  • Como número ordinal: El atleta británico quedó 3º en la prueba de cien metros lisos.
  • Como identificador: Tú número de carnet de socio del Atleti es el 2868.

video
Los números naturales
Tutorial 1 (3'08")     Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 2 (4'56")     Sinopsis:

El conjunto de los números naturales: origen y definición.

Tutorial 3 (4'19")     Sinopsis:

Tutorial de introducción al tema:

  1. Números naturales.
  2. Sistemas de numeración.
  3. Sistema de numeración decimal.
Acertijo (2'06")     Sinopsis:

Hace unas horas tenía 16 años y el año que viene cumpliré 19. ¿Cómo explicas esta situación?

Los números naturales     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre números naturales.

ejercicio
¿Qué números aparecieron primero, los cardinales o los ordinales?

Existen dos teorías sobre el origen de la numeración, que además está relacionada con la cuestión de qué números aparecieron primero, los cardinales (1, 2, 3,...) o los ordinales (1º, 2º, 3º,...) La teoría que genera más consenso defiende el argumento de la necesidad. Todo habría comenzado a causa de la necesidad de contar objetos; por ello se habrían creado primero los números cardinales y después, los ordinales.

La otra teoría defiende la base espiritual de los números, que habrían tenido un uso ritual: cierto tipo de ceremonias requerían que los participantes se desplazaran o se situaran en un orden ritual preestablecido; por eso los números ordinales serían anteriores a los cardinales. Esta teoría además postula que los números se originaron en un lugar geográfico determinado, desde el que se propagaron al resto del mundo; también establece la división de los números naturales en pares e impares, considerando los impares masculinos y los pares, femeninos, una clasificación que comparten hoy en día muchas culturas del planeta.

(Extracto de "El mundo es matemático: Del ábaco a la revolución industrial". Pág. 10)"

ejercicio
El género de los números y otras curiosidades

Podemos representarlos en una recta:

Números naturales. Números primos (17´)     Sinopsis:

Los números que nos sirven para contar, los números naturales, uno de los más viejos inventos de la Humanidad. ¿Cómo serían nuestras vidas sin la existencia de estos números?... Desde los pitagóricos, que los consideraron como el principio y la explicación de todo el Universo, hasta nuestros días estos números han ejercido un poderoso influjo sobre los matemáticos de todas las épocas. Uno de los campos que ha tenido en jaque a los grandes matemáticos es el de los números primos; una auténtica caja de sorpresas. Aún hoy, utilizando potentes ordenadores, no se han podido demostrar algunas de las conjeturas formuladas sobre estos números hace más de doscientos años. Veremos algunas de ellas y descubriremos una de las aplicaciones más extrañas de los números primos en la actualidad, su utilización en criptografía. (Ver resumen detallado)

Operaciones con naturales

Suma y multiplicación de naturales

La suma (o adición) y la multiplicación (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son leyes de composición interna.

Resta y división de naturales

La resta (o substracción)y la división (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural.

Propiedades de la suma y el producto de naturales

La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades:

  • Propiedad asociativa:
(a+b)+c=a+(b+c)\,\!
(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)
  • Propiedad conmutativa:
a+b=b+a\,\!
a \cdot b=b \cdot a
  • Propiedad distributiva:
a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c


Sacar factor común

La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones sacando factor común. Veamos un ejemplo

ejercicio

Ejemplo: Sacar factor común

Saca factor común en la expresión 16xyz-24xz+4x\;\!
Solución:
El factor común, que se repite en los tres sumandos, es 4x\,\!. Ese factor lo multiplicamos por un paréntesis que contenga a otros tres sumandos. Cada uno de los sumandos del paréntesis deberá ser tal, que al multiplicarlo por el factor común 4x\,\!, dé como resultado cada uno de los sumandos de la expresión de partida. En nuestro caso:

16xyz-24xz+4x\;\!=

(4x) \cdot 4yz - (4x) \cdot 6z + (4x) \cdot 1=\;\!

4x \cdot (4yz-6z+1)

División de naturales

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división

Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

Demostración:
Ver demostración en Wikipedia

Potenciación de naturales

Una potencia de base a\;\! y exponente n\;\! consiste en multiplicar n\;\! veces la base a\;\!.

a^n =a \cdot a \cdots a\;\!

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo.

En la expresión de la potencia de un número consideramos dos partes:

  • La base es el número que se multiplica por sí mismo
  • El exponente es el número que indica las veces que la base aparece como factor.

Una potencia se escribe tradicionalmente poniendo el número base de tamaño normal y junto a él, arriba a su derecha se pone el exponente, de tamaño más pequeño.

Para nombrar o leer una potencia decimos primeramente el número base, después decimos lo referente al exponente. Cuando el exponente es 2 se dice "elevado al cuadrado", cuando el exponente es 3 se dice "elevado al cubo". En los demás casos se dice "elevado a la cuarta, quinta, sexta... potencia".

ejercicio

Actividad Interactiva: Potencias

Actividad 1. Potencia de un número natural.
Actividad:
Observa cómo varía el resultado al modificar la base y el exponente.

Haz uso de la escena anterior y contesta en tu cuaderno:

a) ¿Qué valor tiene una las potencia cuya base es el número 0 sea cual sea el exponente?
b) ¿Qué valor tiene una potencia cuya base es el número 1 sea cual sea el exponente?
c) ¿Qué valor tienen las potencias de cualquier base cuando su exponente es el número 0 ?
d) ¿Qué valor tiene una potencia cuyo exponente es el número 1 ?
Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base

Propiedades de las potencias de naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

ejercicio
Ejemplos:
  • Producto de potencias de la misma base:

\begin{matrix} 5^4 \cdot 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ \cdot \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4+3} = 5^7 \\ \; \end{matrix}


  • Cociente de potencias de la misma base:

\begin{matrix} 5^4 : 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot \not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \  : \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (\not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4-3} = 5^1 \\ \; \end{matrix}


  • Potencia de un producto:
(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216

2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 8 \cdot 27 = 216

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.


  • Potencia de un cociente:
(6 : 3)^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

6^3 : 2^3 = 16 : 27 = 8\;

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.


  • Potencia de otra potencia:

(5^4)^3 = 5^4 \cdot 5^4 \cdot 5^4 = 5^{4+4+4} = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12}


  • Potencia cero: Cuando se vio la definición de potencia, dijimos que a^0 = 1\; por convenio. Expliquemos ésto ahora un poco mejor:

\left.\begin{matrix} 5^3:5^3 =5^{3-3}=5^0 \\ 5^3:5^3=125:125=1 \end{matrix}\right\} \ \rightarrow \ 5^0 = 1

video
Propiedades de las operaciones con potencias
Tutorial 1 (8'12")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial2 (8'20")     Sinopsis:
  • Producto de potencias de la misma base.
  • Cociente de potencias de la misma base.
  • Potencia de otra potencia.
  • Ejemplos.
Producto de potencias de la misma base (4'26")     Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (4'33")     Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de otra potencia (3'43")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de otra potencia.

Producto de potencias de la misma base (5'11")     Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (5'58")     Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de un producto (4'57")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un producto.

Potencia de un cociente (5'24")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un cociente.

Potencia de una potencia (4'51")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de una potencia.

Propiedades de las potencias (2'32")     Sinopsis:

Enunciados de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejemplos de las propiedades de las potencias (3'28")     Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 1 (2'09")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 2 (3'40")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 3 (3'37")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 4 (3'42")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 5 (2'47")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Actividades

video
Operaciones con potencias de números naturales
Actividad     Descripción:

Ejercicios con potencias de números naturales.

Juegos     Descripción:

Jerarquía de las operaciones con naturales

A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:

ejercicio

Jerarquía de las operaciones

A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.

nota
Observaciones:
  • Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
  • Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
  • En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.

ejercicio
Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones: 8+\sqrt{16} \cdot (5-2)^2

  1. Los paréntesis: \rightarrow 8+\sqrt{16} \cdot (5-2)^2= 8 + \sqrt{16} \cdot 3^2
  2. Las potencias y las raíces: \rightarrow 8 + \sqrt{16} \cdot 3^2 = 8 + 4 \cdot 9
  3. Las multiplicaciones y divisiones: \rightarrow 8 + 4 \cdot 9 = 8 + 36
  4. Las sumas y restas: \rightarrow 8 + 36 = 44

video
Jerarquía de las operaciones
Tutorial 1 (8'31")     Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales: sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, potencias, raíces, paréntesis. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'35")     Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales.

Tutorial 3 (4'38")     Sinopsis:

Aprende el orden en que han de hacerse las distintas operaciones con números naturales.

Acertijo (8'02")     Sinopsis:

¿Cuánto es 6÷2(1+2)? ¿9 ó 1?

video
Operaciones combinadas con naturales
Autoevaluación 1     Descripción:

En esta escena podrás practicar las operaciones con números naturales: suma, resta, multiplicación, cociente, potencia y raíz; con o sin paréntesis, simples o dobles.

Autoevaluación 2     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas con números naturales.

Ejercicios y problemas

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios

1. Calcula:

a) 7+3\cdot5-2=
b) (7+3)\cdot5-2=
c) 7+3\cdot(5-2)=
d) (7+3)\cdot(5-2)=

Solución:
a) 20 b) 48 c) 16 d) 30

2. Simplifica:

a) (x^2)^5\,\! b) x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 c) (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x

Solución:
a) x^{10}\,\! b) x^9\,\! c) x^{15}\,\!

3. Simplifica:

a) \cfrac{3^5}{3^2} b) \cfrac{5^4}{5^2} c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}

Solución:
a) 3^3\,\! b) 5^2\,\! c) 2^2 \cdot 5^2

4. Extrae factor común:

a) -18a+20a-10a\,\! b) 15x-60x^2\,\! c) 5ba^2-3ab+2ba^3\;\!

Solución:
a) -8a\,\! b) 15x \cdot (1-4x)\,\! c) ab \cdot (5a-3+2a^2)

Problemas

ejercicio

Problemas

1. Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?
Solución:
El divisor es 14 (Aplicando la regla de la división)
2. Una empresa compra una máquina de café por 6.000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio mensual le ha aportado la máquina?
Solución:
214 €

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Ejemplo:
  • Operación: \cfrac {4}{2}- 3+7 \cdot 8


  • Procedimiento: 4\;\! División 2\;\! Resta 3\;\! Suma 7\;\! Multiplicación 8\;\! Obtener resultado


  • Solución: 55\;\!

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Ejemplo:
  • Operación: (2+3) \cdot 4


  • Procedimiento: Abre paréntesis2\;\! Suma 3\;\!Cierra paréntesis Multiplicación 4\;\! Obtener resultado


  • Solución: 20\;\!

Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias

Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Ejemplo:
  • Operación: \cfrac {4^3}{2^4}


  • Procedimiento: 4\;\! Elevado a 3\;\! División 2\;\! Elevado a 4\;\! Obtener resultado


  • Solución: 4\;\!

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