Números naturales

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-==Operaciones con naturales==+=Operaciones con naturales=
-===Suma y multiplicación de naturales===+==Suma==
-La '''suma''' (o adición) y la '''multiplicación''' (o producto) de dos números naturales es otro número natural. Por eso se dice que estas dos operaciones son '''operaciones internas'''.+{{suma de naturales}}
 +{{p}}
 +===Propiedades de la suma de números naturales===
 +{{Propiedades de la suma de números naturales}}
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 +==Resta==
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 +==Multiplicación o producto de números naturales==
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 +{{p}}
 +===Propiedades de la multiplicación de números naturales===
 +{{Propiedades de la multiplicación de números naturales}}
{{p}} {{p}}
-===Resta y división de naturales===+===Producto por 10, 100, 1000, ....===
-La '''resta''' (o substracción) y la '''división''' (o cociente) de dos números naturales no siempre es otro número natural.+{{Producto por 10, 100, 1000}}
{{p}} {{p}}
-===Propiedades de la suma y el producto de naturales===+ 
-La suma y la multiplicación cumplen las siguientes propiedades:+==División de números naturales==
-{{Caja Amarilla|texto=+{{División de naturales}}
-*'''Propiedad asociativa:''' +{{p}}
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-::<math>(a \cdot b)\cdot c=a \cdot(b \cdot c)</math>+{{Cociente por defecto y por exceso}}
-*'''Propiedad conmutativa:''' +{{p}}
-::<math>a+b=b+a\,\!</math>+ 
-::<math>a \cdot b=b \cdot a</math>+===Propiedades de la división de números naturales===
-*'''Propiedad distributiva:''' +{{Propiedades de la división de números naturales}}
-::<math>a \cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c</math>+{{p}}
-}}+
<br> <br>
===Sacar factor común=== ===Sacar factor común===

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Tabla de contenidos

Números naturales

El conjunto de los números naturales es:

\mathbb{N}=\left \lbrace 1 ,\ 2,\ 3, \cdots \right \rbrace

Se trata de un conjunto con infinitos elementos y sirven para:

  • Contar (números cardinales: 1, 2, 3, ...).
  • Ordenar (números ordinales: 1º, 2º, 3º, ...).
  • Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.







Representación de los números naturales

ejercicio

Representación de los números naturales


Los números naturales podemos representarlos en una recta:

  • Sobre ella marcamos el número cero.
  • A la derecha del cero, y a distancias iguales, situamos los números naturales: 1, 2, 3,...

Orden en los números naturales

En la representación de los números naturales en la recta numérica se observa la relación de orden que existe en dicho conjunto. Diremos que los números naturales están ordenados (véase números ordinales), lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí.

Un número natural es mayor que otro si está situado más a la derecha en la recta numérica y es menor si está situado más a la izquierda.

ejercicio

Orden en el conjunto de los números naturales


Dados dos números naturales cualesquiera, a\; y b\;, se dará uno de los siguientes casos:

  • El primero es menor que el segundo: a<b\; (Se lee "a es menor que b").
  • El primero es igual que el segundo: a=b\; (Se lee "a es igual que b").
  • El primero es mayor que el segundo: a>b\; (Se lee "a es mayor que b").



Notación desarrollada de un número natural

La notación desarrollada de un número natural consiste en expresarlo como suma de los valores relativos de cada uno de sus dígitos.

Lectura y escritura de números naturales

ejercicio

Reglas


  • Al leer números, primero se separan las cifras, de tres en tres, empezando por la derecha. Después se leen de izquierda a derecha, como si fuesen números de tres cifras, y se añaden las palabras mil, millones, billones, trillones,... donde corresponda.
  • Hasta el número treinta siempre se escribe con una sola palabra.
  • Según indica la Real Academia Española, al escribir números de más de cuatro cifras, se agruparán estas de tres en tres, empezando por la derecha, y separando los grupos por espacios en blanco y no por puntos o comas (8 327 451). Los números de cuatro cifras se escriben sin espacios de separación (2458).

Los números grandes

Los números naturales son infinitos y nuestro sistema de numeración decimal nos permite representar cualquiera de ellos por muy grandes que sean.

Los números grandes más usuales son:

  • 1 millón = 1 000 000 (1 seguido de 6 ceros)
  • 1 billón = 1 millón de millones = 1 000 000 000 000 (1 seguido de 12 ceros)
  • 1 trillón = 1 millón de billones = 1 000 000 000 000 000 000 (1 seguido de 18 ceros)
  • 1 millardo = Mil millones = 1 000 000 000 (1 seguido de 9 ceros)



Operaciones con naturales

Suma

  • Sumar es unir, juntar, añadir.
  • La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
    • a y b reciben el nombre de sumandos.
    • El resultado, c, se denomina suma.

Propiedades de la suma de números naturales

ejercicio

Propiedades de la suma


  • Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.
a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

a+b = b+a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

0 + a = a \,

Resta

  • Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
  • La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
  • a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.



Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

  • Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
  • La multiplicación o producto de dos números naturales, a\; y b\;, se representa a \cdot b = c.
  • a\; y b\; se llaman factores y c se denomina producto.

Propiedades de la multiplicación de números naturales

ejercicio

Propiedades de la multiplicación


  • Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:
a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}
  • Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

a \cdot b = b \cdot a\,

  • Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

(a + b ) + c = a + ( b + c )\,
  • Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o resta) de los productos del número por cada sumando.

a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c

  • Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

1 \cdot a = a \,

ejercicio

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto


Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).


División de números naturales

El siguiente video resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división


Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

ejercicio

Ejercicio: División con naturales


Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?

Cociente por defecto y por exceso

ejercicio

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso


Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?
b) ¿Cuántos taxis se necesitan?
c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Propiedades de la división de números naturales

ejercicio

Propiedades


  • No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
  • La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
  • Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
  • Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.


Sacar factor común

La propiedad distributiva sirve para simplificar expresiones sacando factor común. Veamos un ejemplo

ejercicio

Ejemplo: Sacar factor común


Saca factor común en la expresión 16xyz-24xz+4x\;\!

División de naturales

Sean D\; y d\; dos números naturales, con d \ne 0.

  • La división o cociente de D\; entre d\; consiste en ver cuantas veces está contenido d\; en D\;.
    • Se representa por D : d=c\;.
    • A D\; lo llamaremos dividendo, a d\; divisor y al resultado de la división, c\;, cociente.

  • Vamos a distinguir dos casos:
    • Si d\; está contenido en D\; un número "exacto" de veces (el cociente, c\;, es un número natural tal que D=d \cdot c\;), diremos que la división es exacta.
    • En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural r\;, menor que d\;, de manera que si dividimos D-r\; entre d\;, la división es exacta. A dicho número r\; lo llamaremos resto o residuo de la división.
20:4 = 5
Aumentar
20:4 = 5

ejercicio

Algoritmo de la división


Dados D\;\! y d\;\! , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, c\;\! y r\;\! , tales que:

D=d \cdot c + r

D\;\! es el dividendo, d\;\! el divisor, c\;\! el cociente y r\;\! el resto.

Potenciación de naturales

Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de un número por sí mismo:

\begin{matrix}  a^b = \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ a \cdot a \cdots a } \\ b \, \mbox{veces} \end{matrix}         (Se lee: "a\; elevado a b\;")
  • El número a\; se llama base. Es el número que se multiplica por sí mismo.
  • El número b\; se llama exponente. Es el número que indica las veces que la base aparece como factor.
  • Por convenio, se establece que: a^0=1 \ ,\ \ \forall a \ne 0\;.
  • Cuando el exponente de una potencia es el número 1 no se pone exponente, basta con poner el número de la base.



Imagen:potenciass.gif

¡Ojo, no confundir!

Calculadora

Calculadora: Potencias


Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Propiedades de las potencias de naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias


1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

Actividades

Jerarquía de las operaciones con naturales

A la hora de operar con números naturales seguiremos las siguientes pautas:

ejercicio

Jerarquía de las operaciones


A la hora de operar seguiremos las siguientes pautas:

  • Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
  • Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:
  1. Las potencias y las raíces.
  2. Las multiplicaciones y las divisiones (de izquierda a derecha).
  3. Las sumas y las restas.



Ejercicios y problemas

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios


1. Calcula:

a) 7+3\cdot5-2=
b) (7+3)\cdot5-2=
c) 7+3\cdot(5-2)=
d) (7+3)\cdot(5-2)=

2. Simplifica:

a) (x^2)^5\,\! b) x^3 \cdot x^4 \cdot x^2 c) (x^3)^2 \cdot (x^2)^4 \cdot x

3. Simplifica:

a) \cfrac{3^5}{3^2} b) \cfrac{5^4}{5^2} c) \cfrac{2^3 \cdot 5^4}{2 \cdot 5^2}

4. Extrae factor común:

a) -18a+20a-10a\,\! b) 15x-60x^2\,\! c) 5ba^2-3ab+2ba^3\;\!

Problemas

ejercicio

Problemas


1. Al dividir 453 entre 32 se obtiene 5 de resto. ¿Cúal es el divisor?
2. Una empresa compra una máquina de café por 6.000 €. Cada mes se gasta 100 € en mantenimiento pero obtiene 350 € por la venta de café. Al cabo de 2 años y medio la vende por 4920 €. ¿Qué beneficio mensual le ha aportado la máquina?

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división


Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas Suma, Resta, Multiplicación y División.

Paréntesis

Calculadora

Calculadora: Paréntesis


Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas Abre paréntesis yCierra paréntesis.

Potencias

Calculadora

Calculadora: Potencias


Para calcular potencias usaremos la tecla Elevado a.

Herramientas personales
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