Números racionales: Tipos de fracciones

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-==Fracciones propias e impropias== 
-{{Caja Amarilla|texto='''Fracciones propias''' son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.<br> '''Fracciones impropias''' son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.}} 
-{{p}}  
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Fracciones propias e impropias''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' Definición de fracción propia e impropia. 
-|actividad= 
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-url=http://sultan.hostos.cuny.edu/InstructionalTech/MAT1604SPA/fractions3.htm 
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-<center>[http://sultan.hostos.cuny.edu/InstructionalTech/MAT1604SPA/fractions3.htm '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2:''' Separa las fracciones propias de las impropias. 
-|actividad= 
-Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante, podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador. 
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-Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador. 
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-* Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1. 
-* Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1. 
-* Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1.  
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-Coloca cada fracción en el rectángulo que le corresponda según su valor. 
- 
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-</iframe></center> 
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/valor1_1.html '''Shift-Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center> 
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones. 
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-}} 
-}} 
-{{p}} 
-{{Teorema|titulo=Proposición: ''Transformar una fración impropia en un entero más una fracción propia'' 
-|enunciado= 
-:Toda fracción impropia <math>\cfrac{D}{d}</math> se puede escribir en la forma <math>c+\cfrac{r}{d}</math> donde <math>c\;\!</math> es el cociente y <math>r\;\!</math> es el resto de la división de <math>D\;\!</math> entre <math>d\;\!</math>.  
-|demo= Basta aplicar el [http://maralboran.ath.cx/wikipedia/index.php/N%C3%BAmeros_naturales:_Operaciones#Algoritmo_de_la_divisi.C3.B3n algoritmo de la división]: 
-<center><math>D=d \cdot c + r</math></center> 
-y, a continuación, dividir todos los términos por <math>d\;\!</math> 
-<center><math>\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}</math></center> 
-}} 
-{{p}} 
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Fracciones impropias'' 
-|enunciado= 
-:Descompón la frácción impropia <math>\cfrac{35}{8}</math> en la suma de un entero y una fracción propia. 
-|sol= 
-Dividimos 35 entre 8: <math>35=4 \cdot 8 + 3</math> 
- 
-El dividendo <math>D=35\;\!</math>, el divisor <math>d=8\;\!</math>, el cociente <math>c=4\;\!</math> y el resto <math>r=3\;\!</math>. 
- 
-Aplicando la proposición anterior: 
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-<center><math>\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}</math></center> 
- 
-y sustituyendo cada letra por su valor: 
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-<center><math>\cfrac{35}{8}=4+\cfrac{3}{8}</math></center>  
-}}{{p}} 
-{{Calculadora 
-|titulo=Calculadora: ''Fracciones impropias'' 
-|cuerpo=Para convertir una fracción impropia en la suma de un número entero y una fracción propia (forma mixta) usaremos la tecla [[Imagen:fraccion.jpg|35px|Fracción]]. 
-|operacion= 
-<math>\cfrac {7}{3}=2+\cfrac{1}{3}</math> 
-|procedimiento= 
-<math>7\;\!</math> [[Imagen:fraccion.jpg|35px|Fracción]] <math>3\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]] (Para obtener la expresión decimal pulsaremos [[Imagen:fraccion.jpg|35px|Fracción]] y para volver a forma fraccionaria usaremos la misma tecla) 
-|solucion=<math>2 \lnot 1 \lnot 3 \ (= 2.3333)\;\!</math> 
-}} 
- 
==Fracciones equivalentes== ==Fracciones equivalentes==
{{Caja Amarilla|texto='''Fracciones equivalentes''' son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.}}{{p}} {{Caja Amarilla|texto='''Fracciones equivalentes''' son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.}}{{p}}

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Tabla de contenidos

Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.

Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.

ejercicio

Proposición


Toda fracción impropia, \cfrac{D}{d}\;, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.     

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

    

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
Aumentar
Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1

Números mixtos

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\  (b<c)



Calculadora

Calculadora: Fracciones mixtas


A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla Fracción.
B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez Fracción.

Fracciones equivalentes

Fracciones equivalentes son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.

Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, \cfrac{3}{5}=\cfrac{6}{10}=\cfrac{9}{15}

Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c

Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes.

ejercicio

Actividades Interactivas: Fracciones equivalentes


Actividad 1: Definición de fracciones equivalentes.
Actividad 2: Busca una fracción equivalente a la dada.
Actividad 3: Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).
Actividad 4: Junta las fracciones equivalentes.

Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles

Simplificar una fracción consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es irreducible.

ejercicio

Actividades Interactivas: Simplificación de fracciones


Actividad 1: Simplifica las fracciones.
Actividad 2: Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Tipos de fracciones


1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}

2. Simplifica las fracciones:

a) \cfrac{70}{14} b) \cfrac{300}{420} c) \cfrac{105}{60}

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda