Números racionales: Tipos de fracciones

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==Fracciones propias e impropias== ==Fracciones propias e impropias==
-{{Caja Amarilla|texto='''Fracciones propias''' son aquellas cuyo numerador es menor que el denominador. Son menores que 1.<br> '''Fracciones impropias''' son aquellas cuyo numerador es mayor o igual que el denominador. Son mayores que 1.}}+{{Fracciones propias e impropias 1ºESO}}
-{{p}} +
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Fracciones propias e impropias''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Definición de fracción propia e impropia.+
-|actividad=+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://sultan.hostos.cuny.edu/InstructionalTech/MAT1604SPA/fractions3.htm+
-width=100%+
-height=620+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' Separa las fracciones propias de las impropias.+
-|actividad=+
-Puesto que una fracción representa una división, para saber cuál es el valor de una fracción deberíamos realizar esa división, no obstante, podemos apreciar el valor de una fracción si nos fijamos en su numerador y su denominador.+
- +
-Su valor será más grande cuanto mayor tenga el numerador, y será más pequeño cuanto mayor tenga el denominador.+
- +
-* Si el numerador es más pequeño que el denominador, entonces la fracción vale menos de 1.+
-* Si el numerador es igual al denominador, entonces la fracción vale 1.+
-* Si el numerador es mayor que el denominador, entonces la fracción vale más de 1. +
- +
-Coloca cada fracción en el rectángulo que le corresponda según su valor.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/valor1_1.html+
-width=500+
-height=420+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.+
- +
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Teorema|titulo=Proposición: ''Transformar una fración impropia en un entero más una fracción propia''+==Fracciones equivalentes==
-|enunciado=+{{Fracciones equivalentes: definicion}}
-:Toda fracción impropia <math>\cfrac{D}{d}</math> se puede escribir en la forma <math>c+\cfrac{r}{d}</math> donde <math>c\;\!</math> es el cociente y <math>r\;\!</math> es el resto de la división de <math>D\;\!</math> entre <math>d\;\!</math>. +
-|demo= Basta aplicar la regla de la división.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Fracciones impropias''+===Obtención de fracciones equivalentes===
-|enunciado=+{{Obtención de fracciones equivalentes}}
-:Descompón la frácción impropia <math>\cfrac{35}{8}</math> en la suma de un entero y una fracción propia.+{{p}}
-|sol=+===Simplificación de fracciones===
-Dividimos 35 entre 8: <math>35=4 \cdot 8 + 3</math>+{{Simplificación de fracciones}}
- +{{p}}
-El dividendo <math>D=35\;\!</math>, el divisor <math>d=8\;\!</math>, el cociente <math>c=4\;\!</math> y el resto <math>r=3\;\!</math>.+===Cómo averiguar si dos fracciones son equivalentes===
- +{{Comprobación de que dos fracciones son equivalentes}}
-Aplicando la proposición anterior:+{{p}}
- +{{wolfram desplegable|titulo=Fracciones equivalentes|contenido=
-<center><math>\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}</math></center>+{{Wolfram fracciones equivalentes}}
- +
-y sustituyendo cada letra por su valor:+
- +
-<center><math>\cfrac{35}{8}=4+\cfrac{3}{8}</math></center> +
-}}{{p}}+
-{{Calculadora+
-|titulo=Calculadora: ''Fracciones impropias''+
-|cuerpo=Para convertir una fracción impropia en la suma de un número entero y una fracción propia (forma mixta) usaremos la tecla [[Imagen:fraccion.jpg|35px|Fracción]].+
-|operacion=+
-<math>\cfrac {7}{3}=2+\cfrac{1}{3}</math>+
-|procedimiento=+
-<math>7\;\!</math> [[Imagen:fraccion.jpg|35px|Fracción]] <math>3\;\!</math> [[Imagen:igual.jpg|35px|Obtener resultado]] (Para obtener la expresión decimal pulsaremos [[Imagen:fraccion.jpg|35px|Fracción]] y para volver a forma fraccionaria usaremos la misma tecla)+
-|solucion=<math>2 \lnot 1 \lnot 3 \ (= 2.3333)\;\!</math>+
-}}+
- +
-==Fracciones equivalentes==+
-{{Caja Amarilla|texto='''Fracciones equivalentes''' son aquellas que, aún teniendo distinto numerador y denominador, tienen el mismo valor.}}{{p}}+
-Cada fracción tiene infinitas fracciones equivalentes a ella. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. Por ejemplo, <math>\cfrac{3}{5}=\cfrac{6}{10}=\cfrac{9}{15}</math>{{p}}+
-{{Caja Amarilla|texto=Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.+
-<center><math>\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c</math></center>}}{{p}}+
-Si multiplicamos o dividimos el numerador y denominador por un mismo número, se obtienen fracciones equivalentes.{{p}} +
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Fracciones equivalentes''|cuerpo=+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 1:''' Definición de fracciones equivalentes.+
-|actividad=+
- +
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-url=http://sultan.hostos.cuny.edu/instructionaltech/MAT1604SPA/fractions5.htm+
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-name=myframe+
-</iframe></center>+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 2:''' Busca una fracción equivalente a la dada.+
-|actividad=+
-En la siguiente escena, escribe el numerador y denominador de otra fracción equivalente a ella y pulsa "intro" o usa los pulsadores.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/equival1_1.html+
-width=450+
-height=360+
-name=myframe+
-</iframe></center>+
- +
-Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.+
- +
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 3:''' Comprueba si dos fracciones son equivalentes o no (Método de los productos cruzados).+
-|actividad=+
-Para comprobar si dos fracciones son equivalentes o no, el método más fácil es el de los productos cruzados.+
-Multiplicamos sus términos en aspa.+
-El producto del numerador de una fracción por el denominador de la otra ha de dar lo mismo en ambos casos.+
- +
-En la siguiente escena, escribe el numerador y denominador de otra fracción equivalente a ella y pulsa "intro" o usa los pulsadores.+
-Después, pulsa sobre el triángulo azul para ver paso a paso la comprobación.+
- +
-<center><iframe>+
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/equival2_1.html+
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-height=350+
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-</iframe></center>+
- +
-Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción.+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 4:''' Junta las fracciones equivalentes.+
-|actividad=+
-Cada fracción de abajo es equivalente a otra de arriba. Colócala junto a ella.+
-Para ello puedes buscar la fracción irreducible de cada una, o comprobar los productos cruzados de ambas.+
- +
-<center><iframe>+
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-height=350+
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-</iframe></center>+
- +
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones.+
-}}+
-{{ai_cuerpo+
-|enunciado='''Actividad 5:''' Agrupa las fracciones equivalentes.+
-|actividad=+
- +
-<center><iframe>+
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-</iframe></center>+
-}}+
}} }}
{{p}} {{p}}
- +{{Actividades fracciones equivalentes}}
-==Simplificar fracciones. Fracciones irreducibles==+
-{{Caja Amarilla|texto='''Simplificar una fracción''' consiste en obtener otra fracción equivalente con numerador y denominador menores. Para ello debemos dividir numerador y denominador por un mismo número. Este proceso se puede repetir hasta que ya no encontremos más divisores comunes distintos de 1, en cuyo caso, la fracción obtenida se dice que es '''irreducible'''.}}+
{{p}} {{p}}
-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Simplificación de fracciones''|cuerpo= 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 1:''' Simplifica las fracciones. 
-|actividad= 
-Todas las fracciones equivalentes entre sí representan el mismo número racional. 
-Por tanto, para expresar un mismo valor nos interesa emplear la fracción más simple, ésa será la que tenga el numerador y denominador más pequeños.  
-A esa fracción se la llama fracción irreducible porque ya no se la puede simplificar más. 
-Nos valemos de la propiedad fundamental de la división. Sabemos que si multiplicamos o dividimos al numerador y al denominador por el mismo número obtenemos otra fracción equivalente. 
-Para simplificar una fracción debemos buscar un número que sea divisor del numerador y del denominador para dividirlos por él. +===Cómo averiguar el término que falta en una igualdad entre fracciones===
-Nos interesa dividirlos por el número mayor posible, ese número es el máximo común divisor de ambos, así, de una sola vez habremos llegado a la fracción irreducible.+{{Cómo averiguar el término que falta en una igualdad entre fracciones}}
-* '''Simplifica (con ayuda):''' 
- 
-En esta escena aparece aleatoriamente una fracción, además se indican los divisores comunes del numerador y del denominador. 
- 
-Abajo debes marcar el número por el que dividirías al numerador y denominador para simplificar esa fracción. 
- 
-<center><iframe> 
-url=http://maralboran.ath.cx/web_ma/descartes/1y2_eso/fracciones/simplif1_1.html 
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-height=340 
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-</iframe></center> 
- 
-Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción. 
- 
-* '''Simplifica (sin ayuda):''' 
- 
-Esta actividad es semejante a la anterior, pero en ésta no se da ayuda.  
-Busca un número por el que puedes simplificar esta fracción, márcalo abajo y pulsa intro. Te indicará si con ello has llagado a la fracción irreducible o si todavía puedes seguir simplificando. En ese caso marca otro número. Tienes tres intentos para llegar a la fracción irreducible, pero no puedes rectificar, por eso no utilices los triángulos para cambiar los números marcados. 
- 
-Si la primera fracción es ya irreducible, marca el 1. 
- 
-<center><iframe> 
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-</iframe></center> 
- 
-Pulsa "inicio" para que aparezca otra fracción. 
-}} 
-{{ai_cuerpo 
-|enunciado='''Actividad 2:''' Coloca junto a cada fracción su fracción irreducible. 
-|actividad={{p}} 
-* '''Nivel 1:''' 
-Las fracciones de abajo son las irreducibles de las fracciones de arriba. Colócalas juntas. 
- 
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-</iframe></center> 
- 
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones. 
- 
-* '''Nivel 2:''' 
-Esta actividad es semejante a la anterior, empleando números de hasta dos cifras. 
- 
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-</iframe></center> 
- 
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones. 
- 
-* '''Nivel 3:''' 
-Esta actividad es semejante a la anterior, empleando números de hasta tres cifras. 
- 
-<center><iframe> 
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- 
-Pulsa "inicio" para que aparezcan otras fracciones. 
-}} 
-}} 
==Ejercicios== ==Ejercicios==
{{ejercicio {{ejercicio

Revisión actual

Tabla de contenidos

Fracciones propias e impropias

¿Qué pasa si el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se interpreta el hecho de tomar más partes de la unidad de las que que hay?

Vamos a dar respuesta a estas preguntas a continuación, pero primero necesitamos ver los conceptos de fracción propia e impropia.

  • Fracciones propias son aquellas cuyo numerador (en valor absoluto) es menor que el denominador (en valor absoluto). Su valor absoluto es menor que 1.
  • Fracciones impropias son aquellas que no son propias. Su valor absoluto es mayor que 1.

Las fracciones impropias representan algo mayor que el todo, es decir, cuando trabajamos con una fracción impropia damos a entender que tenemos unidades completas de algo y, posiblemente, alguna unidad incompleta.

Esto queda de manifiesto en la proposición y en los ejemplos que damos a continuación.

ejercicio

Proposición


Toda fracción impropia, \cfrac{D}{d}\;, se puede escribir como suma de un número entero y una fracción propia.     

\cfrac{D}{d}=c+\cfrac{r}{d}

    

donde c\;\! es el cociente y r\;\! es el resto de la división de D\;\! entre d\;\!.

Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
Aumentar
Fig. 4: Para representar fracciones mayores que la unidad hay que utilizar más de un diagrama de tarta
\cfrac{10}{8}= 1 +\cfrac{2} {8} > 1

Números mixtos

Una fracción mixta o número mixto es la representación de una fracción impropia como un número entero más una fracción propia, en la que se omite el signo de suma.

a \begin{matrix} \frac{b}{c} \end{matrix}=a+\cfrac{b}{c} \ \ ,\  (b<c)



Calculadora

Calculadora: Fracciones mixtas


A) Para convertir una fracción impropia a forma mixta usaremos la tecla Fracción.
B) Para pasar de nuevo a fracción impropia pulsaremos otra vez Fracción.

Fracciones equivalentes

El siguiente videotutorial condensa todo lo que se va a ver en este tema sobre fracciones equivalentes:

Dos fracciones son equivalentes si tienen el mismo valor.

Fig. 1: Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor.
Aumentar
Fig. 1: Las fracciones equivalentes tienen el mismo valor.

Obtención de fracciones equivalentes

Piensa un número. Multiplícalo por 2. Divide el resultado entre 2. ¿Qué sucede?. Lógicamente, el número vuelve a ser el que era al principio porque la multiplicación y la división son operaciones inversas.

Esta idea, junto al hecho de que las fracciones sean el cociente de dos números enteros, permite que muchas fracciones representen el mismo número racional. Más que muchas, infinitas.

Piensa, por ejemplo, en la fracción 1/2. Si multiplicamos su numerador y su denominador por el mismo número entero distinto de cero, en realidad, no estamos variando el valor de la fracción.

Gráficamente, multiplicar el numerador y el denominador de una fracción por el mismo número significa partir el "todo" que estamos considerando en piezas más pequeñas, pero en realidad no varía la cantidad de ese "todo" que se toma. Fíjate en la animación para entenderlo mejor.

Las piezas son cada vez más pequeñas, pero la cantidad coloreada de rojo (lo que representa la fracción) no varía.
Aumentar
Las piezas son cada vez más pequeñas, pero la cantidad coloreada de rojo (lo que representa la fracción) no varía.

ejercicio

Obtención de fracciones equivalentes


Si se multiplica o se divide (de forma exacta) el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número distinto de cero, se obtiene una fracción equivalente. Si además el número por el que multiplicamos o dividimos es distinto de 1, estos procedimientos reciben el nombre de amplificación y simplificación, respectivamente.




Amplificación

Simplificación

Simplificación de fracciones

  • Simplificar una fracción es sustituirla por otra equivalente con el numerador y denominador menores que los de partida.
  • Cuando una fracción no se puede simplificar se dice que es irreducible.

ejercicio

Procedimiento: Simplificación


  • Para simplificar fracciones se divide numerador y denominador por un mismo número, distinto de 0 y 1. Este proceso se puede repetir hasta hacer la fracción irreducible.
  • Si queremos hacer la fracción irreducible en un solo paso debemos dividir numerador y denominador por el m.c.d. de ambos.

La simplificación de fracciones me proporciona un método para saber si dos fracciones son equivalentes.

ejercicio

Procedimiento


Si al simplificar dos fracciones se obtiene la misma fracción irreducible, entonces las dos fracciones son equivalentes.

Cómo averiguar si dos fracciones son equivalentes

Con lo que llevamos visto hasta ahora, tenemos dos formas de comprobar que dos fracciones son equivalentes:

  • Calculando el valor de cada una de ellas, dividiendo numerador entre denominador, y viendo si el resultado es el mismo.
  • Calculando la fracción irreducible de cada una de ellas y viendo si ambas fracciones irreducibles son iguales.

A continuación vamos a ver un resultado que permite hacer la comprobación de forma más simple. Lo llamaremos el método de multiplicar "en cruz".

ejercicio

Comprobación de que dos fracciones son equivalentes


Para saber si dos fracciones son equivalentes, comprobaremos que los productos cruzados de sus numeradores y denominadores coinciden.

\cfrac{a}{b}=\cfrac{c}{d} \quad\Leftrightarrow\quad a \cdot d=b \cdot c

Plantilla:Actividades fracciones equivalentes

Cómo averiguar el término que falta en una igualdad entre fracciones

Si nos dan dos fracciones equivalentes y en una de ellas desconocemos uno de sus términos, utilizaremos el resultado anterior para averiguarlo.

Ejercicios

ejercicio

Ejercicios: Tipos de fracciones


1. Agrupa las fracciones que sean equivalentes:

\cfrac {15}{20} \quad \cfrac{3}{5}\quad \cfrac{8}{16}\quad\cfrac{3}{4}\quad \cfrac{15}{25}\quad \cfrac{1}{2}\quad \cfrac{21}{28}

2. Simplifica las fracciones:

a) \cfrac{70}{14} b) \cfrac{300}{420} c) \cfrac{105}{60}

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda