Números reales

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Tabla de contenidos

Números reales

El conjunto de los números reales es el formado por la unión de los números racionales y de los números irracionales y se designa por \mathbb{R}.

\mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}

En el siguiente esquema puedes ver todos los conjuntos númericos con los que hemos trabajado hasta ahora:

\mbox{Reales } (\mathbb{R})      \begin{cases}         \mbox{Racionales }(\mathbb{Q})          \begin{cases}             \mbox{Enteros } (\mathbb{Z})                  \begin{cases}                     \mbox{Naturales } (\mathbb{N})\rightarrow 0, 1, \cfrac{16} {2}, \sqrt{9}\\                                \mbox{Enteros negativos}\rightarrow -1, -\cfrac{16} {2},-\sqrt{9}                 \end{cases}\\                        \mbox{Fraccionarios}\rightarrow 5.23, \, \cfrac{5} {2}, \, 0.\widehat{54}, \, -\cfrac{5} {2}         \end{cases}\\          \mbox{Irracionales } (\mathbb{I})\rightarrow \pi, e, \phi ,\sqrt{2}     \end{cases}

El conjunto de los números realesde portaleduativo.net
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El conjunto de los números reales

de portaleduativo.net

Operaciones con números reales. Propiedades

La recta real

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales.

Para su construcción:

  • Se elige un punto de referencia arbitrario sobre la recta al que se denomina origen y al que se le asocia el número 0.
  • Se selecciona una unidad U de longitud para medir distancias que es la que separa los números 0 y 1.
  • Se elige también un sentido a lo largo de la recta a la que se llama positivo y se considera como negativo al sentido opuesto.
  • A cada número real p se le asocia un punto de la recta que está a una distancia de p unidades del origen en la dirección positiva o negativa, dependiendo de si el número p es positivo o negativo, respectivamente.


ejercicio

Densidad de los números racionales e irracionales


  • \mathbb{Q} es denso en \mathbb{R}: Entre cada dos números reales existe un racional, y por tanto hay infnitos.
  • \mathbb{I} es denso en \mathbb{R}: Entre cada dos números reales existe un irracional, y por tanto hay infnitos.

ejercicio

Completitud de los números reales


Gracias al axioma del supremo o axioma de completitud, el conjunto de los números reales cubre o completa la recta sin dejar "huecos". Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de la recta y los números reales de manera que a cada punto de la recta le hace corresponder un único número real y viceversa.

Representación gráfica de números reales en la recta real

En los siguientes ejemplos puedes ver distintos procedimientos de representación, dependiendo de cómo sea el número real que queramos representar:

A continuación vamos a ver algunas actividades interactivas y videos sobre la representación de algunos números irracionales en la recta real.

ejercicio

Ejercicios: Números reales


1. Obtén el valor del número áureo \phi \, teniendo en cuenta que un rectángulo de dimensiones \phi :1 \, es semejante al rectángulo que resulta de suprimirle un cuadrado de lado 1. (Ver fig.1)
2. Sitúa los siguientes números en el diagrama (Ver fig.2):

\sqrt{3}, \, 5, \, -2, \, 4.5, \, 7.\widehat{3}, \, -\sqrt[3]{6}, \, \sqrt{64}, \, \sqrt[3]{-27}, \, \sqrt{-8}
Fig.2
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Fig.2

Representación de los números reales

Cuando en una recta se representan los números racionales e irracionales se obtiene la recta real. Cualquier punto de la recta real representa un número real. .

ejercicio

Actividad Interactiva: Representación de los números reales


Actividad 1. Representación gráfica de los números reales en la recta real.

Orden en el conjunto de los reales

Dados dos números reales a\;\! y b\;\!, se dice que a\;\! es menor que b\;\!, (a<b)\;\! si b\;\! está más a la derecha que a\;\! en la recta real. O dicho de otra forma, si b-a\;\! es positivo (b-a>0)\;\!

ejercicio

Actividad Interactiva: Orden en el conjunto de los reales


Actividad 1. Comparando dos números reales por su ubicación en la recta real.

Ejercicios

ejercicio

Actividad Interactiva: Conjuntos numéricos


Actividad 1. Indica a que conjuntos de números pertenece un número dado.
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