Operaciones con números naturales (1º ESO)

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Tabla de contenidos

1 Suma y resta de números naturales
2 Multiplicación o producto de números naturales
3 División de números naturales
4 Operaciones combinadas
- 4.1 Autoevaluación
- 4.2 Ejercicios propuestos
5 Calculadora
- 5.1 Suma, resta, multiplicación y división
- 5.2 Paréntesis

(Pág. 12)

Suma y resta de números naturales

Suma

Sumar es unir, juntar, añadir.
La suma o adición de dos números naturales, a y b, da como resultado otro número natural, c. Se representa: a+b=c.
- a y b reciben el nombre de sumandos.
- El resultado, c, se denomina suma.

Suma de números naturales

Tutorial 1 (0'18") Sinopsis:

El concepto de adición o suma en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (2'52") Sinopsis:

El concepto de adición o suma en el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 1 (4'05") Sinopsis:

Calcula:

a) $51+27\;$

b) $435+67\;$

c) $542+1287+79\;$

d) $51+27\;$

Ejercicio 2 (3'29") Sinopsis:

Calcula: $3081+56+310\;$

Ejercicio 3 (4'03") Sinopsis:

Calcula: $12187+1722+301+45\;$

Ejercicio 4 (3'17") Sinopsis:

Calcula: $4310+216+1062+6+55\;$

Actividades: Cálculo mental con sumas Descripción:

Cálculo mental con sumas.

Propiedades de la suma de números naturales

Propiedades de la suma

Operación interna: el resultado de sumar dos números naturales es otro número natural.

$a, \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a + b \in \mathbb{N}$

Propiedad conmutativa: La suma no varía al cambiar el orden de los sumandos.

$a+b = b+a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de la suma es independiente de la forma en que se agrupen los sumandos.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Elemento neutro: El elemento neutro para la suma es el 0.

$0 + a = a \,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 + 6 = 6 + 8\,$

$14 = 14\,$

Asociativa:

$( 3 + 2 ) + 6 = 3 + ( 2 + 6 )\,$

$5 + 6 = 3 + 8\,$

$11 = 11\,$

Elemento neutro:

$3 + 0 = 3\,$

Propiedades de la suma de números naturales

Tutorial 1 (3'31") Sinopsis:

Propiedades de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 2 (4'34") Sinopsis:

Propiedades de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 3a: Prop. conmutativa y asociativa (3'47") Sinopsis:

Propiedades conmutativa y asociativa de la suma de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 3b: El elemento neutro (3'04") Sinopsis:

El elemento neutro de la suma y del producto de números naturales. Ejemplos.

Tutorial 4: Prop. conmutativa y asociativa (8'21") Sinopsis:

A look behind the fundamental properties of the most basic arithmetic operation, addition.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Tutorial 5: Utilidad de las propiedades (3'04") Sinopsis:

Aplicación de las propiedades asociativa y conmutativa de la suma. Ejemplos.

Ejercicio 1 (2'16") Sinopsis:

Usa la propiedad conmutativa de la suma para escribir la expresión 5 + 8 + 5 de una manera diferente. Comprueba que ambas expresiones dan el mismo resultado.

Ejercicio 2 (2'06") Sinopsis:

Usa la propiedad asociativa de la suma para escribir la expresión (77 + 2) + 2 de una manera diferente. Comprueba que ambas expresiones dan el mismo resultado.

Propiedades de la suma de números naturales

Actividad Descripción:

Propiedades de la suma de números naturales.

Autoevaluación Descripción:

Propiedades de la suma de números naturales.

Resta

Restar es quitar, hallar lo que falta o lo que sobra, es decir, calcular la diferencia.
La resta o sustracción de dos números naturales, a y b, se representa: a-b=c
a es el minuendo, b el sustraendo y c la diferencia.

Observación:

La resta de números naturales no cumple las propiedades de la suma:

No es operación interna: $1-3 \notin \mathbb{N}$ .
No cumple la propiedad conmutativa: $5-2 \ne 2-5$
No cumple la propiedad asociativa: $4-(3-2) \ne (4-3)-2$

Resta de números naturales

Tutorial 1 (4'10") Sinopsis:

El concepto de sustracción en el conjunto de los números naturales.

Tutorial 2 (8'01") Sinopsis:

Repaso de primaria sobre resta de números naturales.

Ejercicio 1 (5'38") Sinopsis:

Calcula:

a) $486-144\;$

b) $4542-768\;$

Ejercicio 2 (3'10") Sinopsis:

Calcula: $9282-3521\;$

Ejercicio 3 (4'25") Sinopsis:

Calcula: $12504-9377\;$

Ejercicio 4 (4'39") Sinopsis:

Calcula: $10000-9112\;$

Actividades: Cálculo mental con restas Descripción:

Cálculo mental con restas.

Autoevaluación: Resta de números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la resta de números naturales.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Sumas y restas

(Pág. 12)

4, 5

1, 2

(Pág. 13)

Multiplicación o producto de números naturales

Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.

Multiplicación de números naturales. Propiedades (9'54") Sinopsis:

Videotutorial que resume lo que vamos a ver en este apartado sobre la multiplicación de números naturales y sus propiedades.

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
La multiplicación o producto de dos números naturales, $a\;$ y $b\;$ , se representa $a \cdot b = c$ .
$a\;$ y $b\;$ se llaman factores y c se denomina producto.

Ejemplo

Si un comerciante vende 5 equipos de sonido a 250 € cada uno, el dinero que ingresa es:

$250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250$ €

Multiplicación de números naturales

Tutorial (3'07") Sinopsis:

El concepto de multiplicación en el conjunto de los números naturales.

Ejercicio 1 (5'00") Sinopsis:

Calcula:

a) $457 \cdot 6\;$

b) $5236 \cdot 25\;$

Ejercicio 2 (2'16") Sinopsis:

Calcula: $5216 \cdot 4\;$

Ejercicio 3 (2'51") Sinopsis:

Calcula: $16349 \cdot 8\;$

Ejercicio 4 (5'29") Sinopsis:

Calcula: $3477 \cdot 27\;$

Ejercicio 5 (5'58") Sinopsis:

Calcula: $73914 \cdot 83\;$

Ejercicio 6 (6'33") Sinopsis:

Calcula: $26715 \cdot 317\;$

Ejercicio 7 (5'52") Sinopsis:

Calcula: $723190 \cdot 529\;$

Actividades: Cálculo mental con multiplicaciones Descripción:

Cálculo mental con multiplicaciones.

Problemas

Problema 1 Descripción:

Para construir con palillos una fila de cuatro cuadrados contiguos se necesitan 13 palillos. ¿Cuántos palillos se necesitarán para construir una fila de 26 cuadrados contiguos?

Problema 2 Descripción:

Si 8 máquinas producen 1500 piezas, ¿cuántas piezas fabricarán 40 máquinas del mismo tipo?

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Propiedades de la multiplicación

Operación interna: El producto de dos números naturales es otro número natural:

$a , \, b \in \mathbb{N} \Rightarrow a \cdot b \in \mathbb{N}$

Propiedad conmutativa: El producto no varía al cambiar el orden de los factores.

$a \cdot b = b \cdot a\,$

Propiedad asociativa: El resultado de una multiplicación es independiente de la forma en que se agrupen los factores.

$(a + b ) + c = a + ( b + c )\,$

Propiedad distributiva: El producto de un número por una suma (o resta) es igual a la suma (o rsta) de los productos del número por cada sumando.

$a \cdot (b + c ) = a \cdot b + a \cdot c \qquad a \cdot (b - c ) = a \cdot b - a \cdot c$

Elemento neutro: El elemento neutro para la multiplicación es el 1.

$1 \cdot a = a \,$

Ejemplo:

Conmutativa:

$8 \cdot 6 = 6 \cdot 8\,$

$48 = 48\,$

Asociativa:

$( 3 \cdot 2 ) \cdot 6 = 3 \cdot ( 2 \cdot 6 )\,$

$6 \cdot 6 = 3 \cdot 12\,$

$36 = 36\,$

Distributiva:

$3 \cdot (2 + 6) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 6 \,$

$3 \cdot 8 = 6 + 18 \,$

$24 = 24\,$

Propiedad conmutativa de la multiplicación (6'23") Sinopsis:

The commutative property is common to the operations of both addition and multiplication and is an important property of many mathematical systems.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Propiedades asociativa y distributiva de la multiplicación (5'23") Sinopsis:

A look at the logic behind the associative and distributive properties of multiplication.

(Disponibles los subtítulos en inglés)

Ejemplo: Propiedad distributiva del producto

Alfredo va a comprar cuatro entradas para un concierto de rock y Teresa va a comprar dos entradas . ¿ Cuánto pagarán entre los dos si cada entrada cuesta 15 €?

Solución:

Podemos resolver el problema de dos formas:

Primera forma:

Alfredo-----> $15 \cdot 4 = 60$

Teresa------> $15 \cdot 2 = 30$

Total---------> $15 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 60 + 30= 90\,$ €

Segunda forma:

Alfredo y Teresa compran 4 + 2 entradas

Luego en total gastan entre los dos: $15 \cdot (4 + 2 )= 15 \cdot 6 = 90$ €

Propiedad distributiva y extracción de factor común (7'08") Sinopsis:

Ejemplos de uso de la propiedad distributiva y de cómo se saca factor común.

Autoevaluación: Propiedades del producto de números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre las propiedades del producto de números naturales.

Producto por 10, 100, 1000, ....

Para multiplicar un número por la unidad seguida de ceros (10, 100, 1000,...), se añaden a la derecha del número tantos ceros como acompañan a la unidad (uno, dos , tres,...).

Ejemplos

$12 \cdot 10 = 120$
$12 \cdot 100 = 1200$
$12 \cdot 1000 = 12000$

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Multiplicación

(Pág. 13)

7, 10, 11

(Pág. 14-15)

División de números naturales

Sean $D\;$ y $d\;$ dos números naturales, con $d \ne 0$ .

La división o cociente de entre consiste en ver cuantas veces está contenido en .
- Se representa por $D : d=c\;$ .
- A $D\;$ lo llamaremos dividendo, a $d\;$ divisor y al resultado de la división, $c\;$ , cociente.

Vamos a distinguir dos casos:
- Si $d\;$ está contenido en $D\;$ un número "exacto" de veces (el cociente, $c\;$ , es un número natural tal que $D=d \cdot c\;$ ), diremos que la división es exacta.
- En caso contrario diremos que la división es entera. Si ocurre esto, es posible encontrar un número natural $r\;$ , menor que $d\;$ , de manera que si dividimos $D-r\;$ entre $d\;$ , la división es exacta. A dicho número $r\;$ lo llamaremos resto o residuo de la división.

20:4 = 5

Algoritmo de la división

Dados $D\;\!$ y $d\;\!$ , dos números naturales cualesquiera, existen dos únicos números naturales, $c\;\!$ y $r\;\!$ , tales que:

$D=d \cdot c + r$

$D\;\!$ es el dividendo, $d\;\!$ el divisor, $c\;\!$ el cociente y $r\;\!$ el resto.

Demostración:

Ver demostración en Wikipedia

Actividades: Cálculo mental con divisiones Descripción:

Actividades: La división entera Descripción:

Cálculo con divisiones.

División

Actividad: Cociente y resto

Calcula:

a) El cociente de dividir 123 entre 20.

b) El resto de dividir 123 entre 20.

c) Comprueba que se cumple el algoritmo de la división con los apartados anteriores.

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Quotient[123,20]

b) Remainder[123,20]

c) 123=20*Quotient[123,20]+Remainder[123,20]

División de números naturales

División de números naturales (7'08") Sinopsis:

División de números naturales. Algoritmo de la división. Ejemplos.

Dividir por una cifra (10'45") Sinopsis:

Aprende a dividir por una cifra

Dividir por dos cifra (8'09") Sinopsis:

Aprende a dividir por dos cifras

División de números naturales Descripción:

Videotutoriales para aprender a dividir por 1, 2 o 3 cifras.

Cociente por defecto y por exceso

Ejemplo: Cociente por defecto y por exceso

Un autobús con 43 turistas sufre una avería camino de la estación . Como no hay tiempo, pues el tren no espera, el responsable del grupo decide acomodar a los viajeros en taxis de 4 plazas.

a) ¿Cuántos taxis completarán?

b) ¿Cuántos taxis se necesitan?

c) ¿cuál es el cociente por defecto y por exceso?

Solución:

a) Completan 10 taxis y sobran 3 turistas. ( $43= 10 \cdot 4 + 3$ )
b) Se necesitan 11 taxis, aunque en el último taxi quede un asiento libre.

c) El cociente por defecto sería 10 y el cociente por exceso sería 11.

Propiedades de la división de números naturales

Propiedades

No es una operación interna: La división de de números naturales no siempre es un número natural
La división no tiene las mismas propiedades que producto. No tiene la propiedad conmutativa, ni la asociativa, ni la distributiva.
Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.
Si se multiplica o se divide el dividendo y el divisor por un mismo número distinto de cero, el cociente no varía pero el resto queda multiplicado o dividido por dicho número.

Demostración:

Veamos ejemplos que ilustren estas propiedades:

La división de números naturales no es una operación interna: $3:5 \notin \mathbb{N}$

La división de números naturales no cumple la propiedad conmutativa: $6:3 \ne 3:6$
La división de números naturales no cumple la propiedad asociativa: $90:(6:3) \ne (90:6):3$
La división de números naturales no cumple la propiedad distributiva: $12:(2+4) \ne (12:2)+(12:4)$

Si dividimos 0 por cualquier número distinto de 0, el resultado es 0.: $0:5=0\;$

Para la última propiedad veremos un ejemplo:

Hagamos la división $360 : 50 \;$

$360 =50 \cdot 7 + 10 \;$ (Cociente=7; Resto=10)

Ahora dividimos el dividendo y el divisor por 10:

$360:10=36 \, ; \qquad 50:10=5 \;$

y volvemos a hacer la división:

$36 = 5 \cdot 7 + 1 \;$ (Cociente=7; Resto=1)

Es decir, el cociente no varía y el resto queda dividido por 10.

Multiplicación y división de números naturales. Propiedades Descripción:

Practica con las operaciones de multiplicación y división de números naturales y con sus propiedades.

Autoevaluación: La división de números naturales y sus propiedades Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre la división de números naturales y sus propiedades.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 15)

14, 16, 19

12, 15, 17, 18

(Pág. 16-17)

Operaciones combinadas

Jerarquía de las operaciones

Primero se efectúan las operaciones del interior de los paréntesis. Si hay paréntesis anidados, se efectúan de dentro hacia fuera.
Dentro de los paréntesis, o una vez quitados todos los paréntesis, las operaciones se efectúan en el siguiente orden:

Las multiplicaciones y las divisiones.
Las sumas y las restas.

Observaciones:

Cuando aparecen paréntesis dentro de otros paréntesis, se puede optar por cambiar los paréntesis más exteriores por corchetes, con el fin de facilitar la lectura de la operación.
Cuando resuelvas los paréntesis puedes completar las operaciones que encierren o aplicar la propiedad distributiva.
En cada uno de los pasos que des para resolver una expresión con operaciones combinadas se puede llevar a cabo más de una operación, siempre que no suponga romper el orden que acabamos de establecer.
No se incluyen las potencias ni las raíces en este esquema, pues estas operaciones se veran en otro tema. Lo que haremos será resolverlas después de resolver los paréntesis, antes de las multiplicaciones y divisiones.

Ejemplo:

Efectúa las siguientes operaciones combinadas: $8+4 \cdot (5-2)$

Solución:

Los paréntesis $\rightarrow 8+4 \cdot (5-2)= 8 + 4 \cdot 3$
Las multiplicaciones y divisiones $\rightarrow 8 + 4 \cdot 3 = 8 + 12$
Las sumas y restas $\rightarrow 8 + 12 = 20$

Jerarquía de las operaciones con números naturales Descripción:

Practica las operaciones combinadas con números naturales y con su jerarquía.

Operaciones combinadas con números naturales (6'41") Sinopsis:

Uso de la prioridad en las operaciones combinadas de números naturales. Ejemplos.

Operaciones combinadas

Actividad: Operaciones combinadas

Calcula:

a) $12+3 \cdot 2-(5-3)$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) 12+3·2-(5-3)

Autoevaluación

Autoevaluación: Operaciones combinadas con números naturales Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones combinadas.

Autoevaluación: Suma y resta de números naturales (4 números) Descripción:

En esta escena podrás practicar la suma y resta con 4 números naturales, con o sin paréntesis.

Autoevaluación: Operaciones combinadas con números naturales (3 números) Descripción:

En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 3 números naturales.

Autoevaluación: Operaciones combinadas con números naturales (4 números) Descripción:

En esta escena podrás practicar operaciones combinadas de sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y paréntesis, con 4 números naturales.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: División

(Pág. 17)

1a,b,c; 3a,c,e; 4a,c,e; 5, 6

1d,e,f,g,h; 3b,d,f,g,h; 4b,d,f,g,h

Solución:

Usa la calculadora o Wolfram-Alpha para comprobar las soluciones:

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Calculadora: Suma, resta, multiplicación y división

Para sumar, restar, multiplicar y dividir usaremos las teclas , , y .

Ejemplo:

Operación: $\cfrac {4}{2}- 3+7 \cdot 8$

Procedimiento: $4\;\!$ $2\;\!$ $3\;\!$ $7\;\!$ $8\;\!$

Solución: $55\;\!$

Paréntesis

Calculadora: Paréntesis

Para abrir y cerrar paréntesis usaremos las teclas y.

Ejemplo:

Operación: $(2+3) \cdot 4$

Procedimiento: $2\;\!$ $3\;\!$ $4\;\!$

Solución: $20\;\!$

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Operaciones_con_n%C3%BAmeros_naturales_%281%C2%BA_ESO%29"

Categorías: Matemáticas | Números

 ==Multiplicación o producto de números naturales==
-Multiplicar es una forma abreviada de realizar una suma de sumandos iguales.
+{{Multiplicacion de naturales}}
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-{{Caja Amarilla|texto= *'''Multiplicar''' dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor.
-*Dados dos números naturales ''a'' y ''b'', su producto se representa <math>a \cdot b = c</math>.
-*''a'' y ''b'' se llaman '''factores''' y ''c'' se denomina '''producto'''.
-}}
-{{p}}
-{{Ejemplo_simple
-|titulo=Ejemplo
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-:<math>250 + 250 + 250 + 250 + 250 = 250 \cdot 5 = 1250</math> €
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 {{p}}
 ===Propiedades de la multiplicación de números naturales===

Operaciones con números naturales (1º ESO)

De Wikipedia

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Tabla de contenidos

Suma y resta de números naturales

Suma

Propiedades de la suma de números naturales

Resta

Ejercicios propuestos

Multiplicación o producto de números naturales

Propiedades de la multiplicación de números naturales

Producto por 10, 100, 1000, ....

Ejercicios propuestos

División de números naturales

Cociente por defecto y por exceso

Propiedades de la división de números naturales

Ejercicios propuestos

Operaciones combinadas

Autoevaluación

Ejercicios propuestos

Calculadora

Suma, resta, multiplicación y división

Paréntesis

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