Operaciones con potencias (1ºESO)

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Tabla de contenidos

(Pág. 31)

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Operaciones con potencias

Operaciones con potencias de números naturales (12'08")     Sinopsis:

En este videotutorial haremos una introducción a las operaciones con potencias más usuales.

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Propiedades de las operaciones con potencias de números naturales

ejercicio

Propiedades de las potencias

1. Producto de potencias de la misma base: a^m \cdot a^n=a^{n+m}

2. Cociente de potencias de la misma base: a^m : a^n=a^{m-n}\,\!

3. Potencia de un producto: a^n \cdot b^n=(a \cdot b)^n

4. Potencia de un cociente: a^n : b^n=(a : b)^n\,\!

5. Potencia de otra potencia: (a^m)^n=a^{m \cdot n}

ejercicio
Ejemplos:
  • Producto de potencias de la misma base:

\begin{matrix} 5^4 \cdot 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ \cdot \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot 5 \cdot 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4+3} = 5^7 \\ \; \end{matrix}


  • Cociente de potencias de la misma base:

\begin{matrix} 5^4 : 5^3 \, \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (5 \cdot \not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 4 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \  : \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ (\not 5 \cdot \not 5 \cdot \not 5) } \\ 3 \, \mbox{veces} \end{matrix} \begin{matrix} \ = \ \\ \; \end{matrix} \begin{matrix} 5^{4-3} = 5^1 \\ \; \end{matrix}


  • Potencia de un producto:
(2 \cdot 3)^3 = 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216

2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 8 \cdot 27 = 216

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.


  • Potencia de un cociente:
(6 : 3)^3 = 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

6^3 : 2^3 = 16 : 27 = 8\;

Las dos formas de hacerlo son equivalentes.


  • Potencia de otra potencia:

(5^4)^3 = 5^4 \cdot 5^4 \cdot 5^4 = 5^{4+4+4} = 5^{4 \cdot 3} = 5^{12}


  • Potencia cero: Cuando se vio la definición de potencia, dijimos que a^0 = 1\; por convenio. Expliquemos ésto ahora un poco mejor:

\left.\begin{matrix} 5^3:5^3 =5^{3-3}=5^0 \\ 5^3:5^3=125:125=1 \end{matrix}\right\} \ \rightarrow \ 5^0 = 1

video
Propiedades de las operaciones con potencias
Tutorial 1 (8'12")     Sinopsis:

Potencias de números naturales con exponente natural.

Tutorial2 (8'20")     Sinopsis:
  • Producto de potencias de la misma base.
  • Cociente de potencias de la misma base.
  • Potencia de otra potencia.
  • Ejemplos.
Producto de potencias de la misma base (4'26")     Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (4'33")     Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de otra potencia (3'43")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de otra potencia.

Producto de potencias de la misma base (5'11")     Sinopsis:

Aprende a multiplicar potencias con la misma base.

Cociente de potencias de la misma base (5'58")     Sinopsis:

Aprende a dividir potencias con la misma base.

Potencia de un producto (4'57")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un producto.

Potencia de un cociente (5'24")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de un cociente.

Potencia de una potencia (4'51")     Sinopsis:

Aprende a calcular la potencia de una potencia.

Propiedades de las potencias (2'32")     Sinopsis:

Enunciados de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejemplos de las propiedades de las potencias (3'28")     Sinopsis:

Ejemplos de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 1 (2'09")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 2 (3'40")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 3 (3'37")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 4 (3'42")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

Ejercicio 5 (2'47")     Sinopsis:

Ejercicio de aplicación de las propiedades de las potencias de números naturales.

video
Propiedades de las potencias con números naturales
Actividad 1a     Descripción:

Practica con las propiedades de las operaciones con potencias de números naturales.

Actividad 2     Descripción:

Practica con las propiedades de las operaciones con potencias de números naturales.

Actividad 3a: Producto de potencias de la misma base     Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

El producto de varias potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

Actividad 3b: Cociente de potencias de la misma base     Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

El cociente de dos potencias de la misma base equivale a otra potencia cuya base es la misma y cuyo exponente es la resta de los exponentes.

Actividad 3c: Potencia de una potencia     Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

La potencia de una potencia equivale a una potencia simple cuya base es la misma y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

Actividad 3d: Potencia de un producto     Descripción:

Para ver paso a paso las transformaciones debes pulsar sobre el triángulo azul de arriba de la escena.

La potencia de un producto equivale al producto de potencias cuyas bases son cada uno de los factores y cuyo exponente es el mismo.

Autoevaluación 1     Descripción:
Autoevaluación 2a     Descripción:

Producto de potencias de la misma base.

Autoevaluación 2b     Descripción:

Potencia de otra potencia.

Autoevaluación 2c     Descripción:

Cociente de potencias de la misma base.

Autoevaluación 2d     Descripción:

Potencia de un producto y de un cociente (práctica estructurada).

Autoevaluación 2e     Descripción:

Potencia de un producto y de un cociente.

Autoevaluación 3     Descripción:

Rellena todas las cajas inferiores y pulsa "intro" al final. Cuando hayas marcado correctamente los tres aparecerá el mensaje CORRECTO, pero si marcas antes un número equivocado ya no aparecerá ese mensaje, por eso, no emplees los triángulos arriba y abajo para variar el número.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con potencias.

Autoevaluación 4     Descripción:

Ejercicios de autoevaluación sobre operaciones con potencias en los que puedes elegir el nivel y el tipo de operaciones.

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Actividades

video
Operaciones con potencias de números naturales
Actividad     Descripción:

Ejercicios con potencias de números naturales.

Juegos     Descripción:

(Pág. 31-32)

ejercicio

Ejercicios resueltos: Operaciones con potencias

a) Calcula por el camino más sencillo: 5^6 \cdot 2^6\;
b) Calcula por el camino más sencillo: 12^3 : 4^3\;
c) Calcula con la ayuda de las propiedades: (6^4 \cdot 5^4):15^4\;
d) Calcula con la ayuda de las propiedades: (8^3)^2 :(8^3 \cdot 8^2)\;
e) Reduce a una sola potencia: (a^2 \cdot a)^4 :(a^6:a^3)^3\;
Solución:
a) Aplicando la propiedad 3:
5^6 \cdot 2^6 = (5 \cdot 2)^6 = 10^6 = 1\,000\,000
b) Aplicando la propiedad 4:
12^3 : 4^3 = (12 : 4)^3 = 3^3 = 27\;
c) Aplicando la propiedad 3:
(6^4 \cdot 5^4):15^4 = (6 \cdot 5)^4 : 15^4 = 30^4 : 15^4=
    y aplicando la propiedad 4:
= (30 : 15)^4 = 2^4 =16\;

d) Aplicando las propiedades 5 y 1:
(8^3)^2 :(8^3 \cdot 8^2) = 8^{3 \cdot 2} : 8^{3+2} = 8^6 : 8^5=
     y aplicando la propiedad 2:
= 8^{6-5} = 8^1 = 8\;
e) Por las propiedades 1 y 2:
(a^2 \cdot a)^4 :(a^6:a^3)^3= (a^{2+1})^4 : (a^{6-3})^3 =(a^3)^4 : (a^3)^3=
     y por las propiedades 5 y 2:
= a^{12} : a^9 = a^{12-9} = a^3\;
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Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Operaciones con potencias

    (Pág. 33)

     2a,b,c,g,h,i; 3a,c,e; 4a; 5; 6a,c,e; 7a,b,d; 8a,b,d; 9a,c,f,g,j; 10

     el resto

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