Otros tipos de ecuaciones (4ºESO Académicas)
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==Ecuaciones con radicales== | ==Ecuaciones con radicales== | ||
- | {{Caja_Amarilla|texto=Hay veces que nos encontraremos con ecuaciónes que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas. | + | {{Caja_Amarilla|texto=Las '''ecuaciones con radicales''' son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas. |
- | Al elevar al cuadrado para buscar la solución, aparecen soluciones erroneas y hay que rechazarlas. Para ello, hay que '''hacer la comprobación''' en la ecuación inicial para detectarlas. | + | Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que '''hacer la comprobación''' en la ecuación inicial para detectarlas´y recharzar las que no sean válidas. |
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a) <math>\sqrt{3x-5} +1=x</math> | a) <math>\sqrt{3x-5} +1=x</math> | ||
- | <math>\sqrt{3x-5}=x-1</math> Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación: | + | <math>\sqrt{3x-5}=x-1</math> |
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+ | Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación: | ||
<math>3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!</math> | <math>3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!</math> | ||
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- | b) <math>\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4</math> Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda) | + | b) <math>\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4</math> |
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+ | Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda) | ||
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+ | <math>\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}</math> | ||
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+ | Se elevan al cuadrado los dos lados del igual | ||
- | <math>\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}</math> Se elevan al cuadrado los dos lados del igual | + | <math>2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}</math> |
- | <math>2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}</math> Aislamos la raíz | + | Aislamos la raíz |
<math>x -26 = -8\sqrt{x+7}</math> Se elevan al cuadrado los dos lados del igual | <math>x -26 = -8\sqrt{x+7}</math> Se elevan al cuadrado los dos lados del igual |
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Tabla de contenidos |
Ecuaciones bicuadradas
Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma
El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable entonces la ecuación quedará como una de segundo grado
La resolvemos, y desechamos los valores de que no dan solución en las y nos queamos con las soluciones positivas que nos daran dos valores de
Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas
Resuelve las ecuaciones:
- a)
- b)
- c)
a)
Soluciones:
b)
Soluciones:
c)
Soluciones:
Ecuaciones con la x en el denominador
Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.
En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.
Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador
Resuelve las ecuación:
El m.c.m. de los denominadores es . Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen:
Simplificamos la ecuación resultante:
Y la resolvemos:
Hay dos soluciones: y . Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y resultan ser válidas:
Ecuaciones con radicales
Las ecuaciones con radicales son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.
Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectarlas´y recharzar las que no sean válidas.
Ejemplo: Ecuaciones con radicales
Resuelve las ecuaciones:
- a)
- b)
a)
Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:
Comprobación:
b)
Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)
Se elevan al cuadrado los dos lados del igual
Aislamos la raíz
Se elevan al cuadrado los dos lados del igual
Comprobación
Ecuaciones factorizadas:
Para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero. Entonces para resolver una ecuación de este tipo, cada paréntesis se iguala a cero y se resuelve dicha ecuación.