Otros tipos de ecuaciones (4ºESO Académicas)

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{{p}} {{p}}
-==Ecuaciones con la x en el denominador==+==Ecuaciones con fracciones algebraicas==
-{{Caja_Amarilla|texto=Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el '''mínimo común múltiplo de los denominadores'''. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.+{{Ecuaciones con la x en el denominador}}
- +
-En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas.+
-}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con x en el denominador''+===Ejercicios propuestos===
-|enunciado=Resuelve las ecuación: <math> \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10} </math>+{{ejercicio
-|sol=El m.c.m. de los denominadores es <math>10x(x+3)\,\!</math>. Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen:+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones bicuadradas y con fracciones algebraicas''
 +|cuerpo=
-:<math>10(x+3)-10x = 3x(x+3)\;</math>+(Pág. 59)
-Simplificamos la ecuación resultante:+[[Imagen:red_star.png|12px]] 4 y 5
- +
-:<math>10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0+
-</math> +
- +
-Y la resolvemos:+
- +
-:<math>x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2}+
-</math>+
- +
-Hay dos soluciones: <math>x=2\;</math> y <math>x=-5\;</math>. Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y resultan ser válidas:+
- +
-:<math> \frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}</math> +
-:<math> \frac{1} {-5}- \frac{1} {-2}= \frac{-1} {5}+ \frac{1} {2} = \frac{3} {10}</math>+
}} }}
==Ecuaciones con radicales== ==Ecuaciones con radicales==
-{{Caja_Amarilla|texto=Las '''ecuaciones con radicales''' son aquellas que tienen la x dentro de raices cuadradas. Para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.+{{Ecuaciones con radicales}}
- +
-Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que '''hacer la comprobación''' en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.+
-}}+
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones con radicales''
 +|cuerpo=
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con radicales+(Pág. 60)
-|enunciado=Resuelve las ecuaciones:+
-::a) <math>\sqrt{3x-5} +1=x\;\! </math>+
-::b) <math>\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\! </math>+[[Imagen:red_star.png|12px]] 6
-|sol=+
-a) <math>\sqrt{3x-5} +1=x</math>+}}
-<math>\sqrt{3x-5}=x-1</math>+==Ecuaciones exponenciales==
-Se elevan al cuadrado los dos lados de la ecuación:+{{Ecuaciones exponenciales}}
 +{{p}}
-<math>3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!</math>+==Ecuaciones logarítmicas==
-Comprobación: <math>\begin{cases} \sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \ \mbox{valida} \\ \sqrt{3 \cdot 3 - 5} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3 \ \mbox{valida} \end{cases}</math>+{{Ecuaciones logaritmicas}}
-----+{{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones exponenciales y logarítmicas''
 +|cuerpo=
-b) <math>\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4</math> +(Pág. 61)
-Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda)+[[Imagen:red_star.png|12px]] 7 y 8
-<math>\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}</math> 
- 
-Se elevan al cuadrado los dos lados del igual 
- 
-<math>2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}</math> 
- 
-Aislamos la raíz 
- 
-<math>x -26 = -8\sqrt{x+7}</math> 
- 
-Se elevan al cuadrado los dos lados del igual 
- 
-<math>x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow x_1=2 \ x_2=114</math> 
- 
-Comprobación <math>\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \ \mbox{valida} \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \ \mbox{no valida} \end{cases}</math> 
}} }}
- 
==Ecuaciones factorizadas== ==Ecuaciones factorizadas==
 +{{Ecuaciones factorizadas}}
-{{Caja_Amarilla|texto=+===Ejercicios propuestos===
-Las '''ecuaciones factorizadas''' son ecuaciones del tipo:+{{ejercicio
-<center> <math> (...) \cdot (...) \cdot (...) = 0 </math></center>+|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones factorizadas''
 +|cuerpo=
-donde cada factor <math>(...)\;</math> es una expresión algebraica.+(Pág. 62)
 + 
 +[[Imagen:red_star.png|12px]] 9 al 16
-Como para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero, tenemos que igualar a cero cada factor y resolver la ecuación resultante. 
}} }}
-{{p}}+==Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2==
 +{{Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuación factorizada'' 
-|enunciado=Resuelve la ecuación <math> x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!</math> 
- 
-|sol= 
-<math> x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\! \rightarrow \begin{cases} x = 0 
- \\ x-5=0 \rightarrow x=5 \\ 3x+1=0 \rightarrow 3x=-1 \rightarrow x= -\cfrac{1} {3} 
- \end{cases}</math> 
- 
-}} 
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]

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Tabla de contenidos

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

ejercicio

Resolución de la ecuación bicuadrada


El método para resolver una ecuación bicuadrada

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

consiste en hacer el cambio de variable x^2=y\,\!. Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".

ay^2 + by + c = 0 \,\!

Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo x=\pm \sqrt{y}. En consecuencia, las soluciones y<0\,\!, las rechazaremos, ya que no darán solución para la x\,\!, quedándonos sólo con las soluciones de y\,\! no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la x\,\!.

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas


Resuelve las ecuaciones:

a) x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!
b) x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!
c) x^4 - 5x^2 = 0 \;\!

Ecuaciones con fracciones algebraicas

Las ecuaciones con fracciones algebraicas, son aquellas en las que intervienen fracciones algebraicas y, por tanto, las incógnitas aparecen en algún denominador.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones con fracciones algebraicas


Estas ecuaciones se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los polinomios de los denominadores y simplificando (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Ecuaciones con fracciones algebraicas


Resuelve las ecuación: \frac{6} {x}+ \frac{x+1} {x-2} = 6

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones bicuadradas y con fracciones algebraicas


(Pág. 59)

4 y 5

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones radicales


Para resolver las ecuaciones con radicales hay que aislar las raices, una a una, e ir elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones con radicales


Resuelve las ecuaciones:

a) \sqrt{2x-3} +1=x\;\!
b) \sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones con radicales


(Pág. 60)

6

Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales


Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
b) 5^{x^2-5x+6}=1 \;
c) 3^{1-x^2}=2\;
d) 2^x+2^{x+1}=12\;

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas


Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) log \ x + log \ 50 = 3
b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32
c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas


(Pág. 61)

7 y 8

Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

(factor_1) \cdot (factor_2) \cdot \ \cdots \  \cdot (factor_n) = 0

donde cada factor puede ser una expresión algebraica, logarítmica, exponencial, trigonométrica, o combinación de estas.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones factorizadas


Como para que un producto de números reales sea cero basta con que uno de ellos sea cero, las soluciones se obtendrán igualando a cero cada uno de los factores y resolviendo la ecuación resultante. Dependiendo de como sea cada factor tendremos que aplicar alguna de las distintas técnicas estudiadas anteriormente.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación factorizada


Resuelve la ecuación x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones factorizadas


(Pág. 62)

9 al 16

Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2

En este apartado vamos a ver ecuaciones polinómicas de grado superior a 2, no bicuadradas, que requerirán del uso de la regla de Ruffini.

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