Otros tipos de ecuaciones (4ºESO Académicas)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 13:56 10 jul 2008
Juanmf (Discusión | contribuciones)
(Ecuaciones con la x en el denominador)
← Ir a diferencia anterior
Revisión actual
Coordinador (Discusión | contribuciones)

Línea 8: Línea 8:
==Ecuaciones bicuadradas== ==Ecuaciones bicuadradas==
-{{Caja_Amarilla|texto=+{{Ecuaciones bicuadradas}}
-Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma <math>ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!</math>+
- +
-El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable <math>x^2=y\,\!</math> entonces la ecuación quedará como una de segundo grado <math>ay^2 + by + c = 0 \,\!</math>+
- +
-La resolvemos, y entonces desechamos las <math>y<0\,\!</math> ya que no dan solución en las <math>x\,\!</math> pero las positivas nos daran dos valores de <math>x\,\!</math> <math>x=\pm \sqrt{y}</math>}}+
{{p}} {{p}}
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones bicuadradas''+==Ecuaciones con fracciones algebraicas==
-|enunciado=Resuelve las ecuaciones:<center><math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\! </math></center>+{{Ecuaciones con la x en el denominador}}
- +
-<center><math>x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\! </math></center>+
- +
-<center><math>x^4 - 9x^2 = 0 \;\! </math></center>+
-|sol=+
-<math>x^4 - 7x^2 + 6 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-7y+6</math>+
- +
-<math>y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}</math>+
- +
-Soluciones: <math>-1,\, 1,\, -\sqrt 6,\, \sqrt 6\,\!</math>+
- +
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones bicuadradas y con fracciones algebraicas''
 +|cuerpo=
-<math>x^4 - 3x^2 - 10 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-3y-10</math>+(Pág. 59)
-<math>y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}</math>+[[Imagen:red_star.png|12px]] 4 y 5
-Soluciones: <math> -\sqrt 5,\, \sqrt 5\,\!</math>+}}
 +==Ecuaciones con radicales==
 +{{Ecuaciones con radicales}}
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones con radicales''
 +|cuerpo=
 +(Pág. 60)
- +[[Imagen:red_star.png|12px]] 6
-<math>x^4 - 9x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-9y</math>+
- +
-<math> y(y-9)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}</math>+
- +
-Soluciones: <math>0,\, -3,\, 3\,\!</math>+
}} }}
-==Ecuaciones con la x en el denominador==+==Ecuaciones exponenciales==
-{{Caja_Amarilla|texto=Las puedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, con el '''mínimo común múltiplo de los denominadores''' y de dos maneras:+
-1º.- Dividiendo el m.c.m. entre cada denominador y multiplicando el resultado por el numerador, en los dos miembros de la ecuación.+{{Ecuaciones exponenciales}}
 +{{p}}
-2º.- Multiplicando el m.c.m. por cada uno de los numeradores y en los dos miembros de la ecuación.+==Ecuaciones logarítmicas==
-De las dos formas anteriores desaparecen los denominadores y la ecuación resultante debe ser posible de resolver.+{{Ecuaciones logaritmicas}}
-En los procesos de multiplicar por polinomios pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas. 
-}} 
{{p}} {{p}}
 +===Ejercicios propuestos===
 +{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones exponenciales y logarítmicas''
 +|cuerpo=
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con x en el denominador''+(Pág. 61)
-|enunciado=Resuelve las ecuación:+
-<center><math> \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10} </math> </center>+
-|sol=Multiplicamos los dos miembros por <math>10x(x+3)\,\!</math>.+
-<math>10(x+3)-10x = 3x(x+3) \rightarrow 10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0 \rightarrow+[[Imagen:red_star.png|12px]] 7 y 8
-</math>+
-<math> 
-x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2} 
-</math> 
}} }}
 +==Ecuaciones factorizadas==
 +{{Ecuaciones factorizadas}}
-==Ecuaciones con radicales==+===Ejercicios propuestos===
-{{Caja_Amarilla|texto=Hay veces que nos encontraremos con ecuaciónes que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.+{{ejercicio
 +|titulo=Ejercicios propuestos: ''Ecuaciones factorizadas''
 +|cuerpo=
-Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial '''siempre''' para detectar las soluciones erroneas.+(Pág. 62)
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con radicales+[[Imagen:red_star.png|12px]] 9 al 16
-|enunciado=Resuelve las ecuaciones:+
-<center><math>\sqrt{3x-5} +1=x+
-\;\! </math></center>+
-<center><math>\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\! </math></center> 
-|sol= 
-<math>\sqrt{3x-5} +1=x</math> 
- 
-<math>\sqrt{3x-5}=x-1</math> Se elevan al cuadrado los dos lados del igual 
- 
-<math>3x-5=x^2-2x+1 \rightarrow x^2 -5x + 6 \rightarrow x_1=2 \ x_2=3 \,\!</math> 
- 
-Comprobación: <math>\begin{cases} \sqrt{3 \cdot 2 - 5} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 2 \ \mbox{valida} \\ \sqrt{3 \cdot 3 - 5} + 1 = \sqrt{4} + 1 = 3 \ \mbox{valida} \end{cases}</math> 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
-<math>\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4</math> Despejamos la primera raíz (Podíamos haber empezado por la segunda) 
- 
-<math>\sqrt{2x-3} = 4 - \sqrt{x+7}</math> Se elevan al cuadrado los dos lados del igual 
- 
-<math>2x-3 = 16 + (x+7) -8\sqrt{x+7}</math> Aislamos la raíz 
- 
-<math>x -26 = -8\sqrt{x+7}</math> Se elevan al cuadrado los dos lados del igual 
- 
-<math>x^2-52x+676=64(x+7) \rightarrow x^2-116x+228=0 \rightarrow x_1=2 \ x_2=114</math> 
- 
-Comprobación <math>\begin{cases} x_1=2 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 2 -3} \sqrt{2+7}=\sqrt{1}+\sqrt{9} = 1+3=4 \ \mbox{valida} \\ x_2=114 \rightarrow \sqrt{2 \cdot 114 - 3} + \sqrt{114+7}=15+11 \ne 4 \ \mbox{no valida} \end{cases}</math> 
}} }}
- +==Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2==
-==Ecuaciones factorizadas==+{{Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2}}
- +
[[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]] [[Categoría: Matemáticas]][[Categoría: Álgebra]]

Revisión actual

Tabla de contenidos

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas son ecuaciones de cuarto grado que no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

ejercicio

Resolución de la ecuación bicuadrada


El método para resolver una ecuación bicuadrada

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

consiste en hacer el cambio de variable x^2=y\,\!. Entonces, nos quedará la siguiente ecuación de segundo grado en "y".

ay^2 + by + c = 0 \,\!

Una vez resuelta esta ecuación en "y", tenemos que averiguar el valor de la "x". Para ello desharemos el cambio de variable, haciendo x=\pm \sqrt{y}. En consecuencia, las soluciones y<0\,\!, las rechazaremos, ya que no darán solución para la x\,\!, quedándonos sólo con las soluciones de y\,\! no negativas, cada una de las cuales dará dos soluciones para la x\,\!.

En consecuencia, una ecuación bicuadrada tendrá, como máximo, cuatro soluciones reales.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones bicuadradas


Resuelve las ecuaciones:

a) x^4 - 10x^2 + 9 = 0\;\!
b) x^4 - 2x^2 - 3 = 0\;\!
c) x^4 - 5x^2 = 0 \;\!

Ecuaciones con fracciones algebraicas

Las ecuaciones con fracciones algebraicas, son aquellas en las que intervienen fracciones algebraicas y, por tanto, las incógnitas aparecen en algún denominador.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones con fracciones algebraicas


Estas ecuaciones se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los polinomios de los denominadores y simplificando (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Ecuaciones con fracciones algebraicas


Resuelve las ecuación: \frac{6} {x}+ \frac{x+1} {x-2} = 6

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones bicuadradas y con fracciones algebraicas


(Pág. 59)

4 y 5

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales o ecuaciones irracionales son aquellas que tienen la incógnita bajo el signo radical.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones radicales


Para resolver las ecuaciones con radicales hay que aislar las raices, una a una, e ir elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado para buscar la solución, pueden aparecer soluciones erroneas. Por eso, al finalizar, hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial para detectar y recharzar las que no sean válidas.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones con radicales


Resuelve las ecuaciones:

a) \sqrt{2x-3} +1=x\;\!
b) \sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones con radicales


(Pág. 60)

6

Ecuaciones exponenciales

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales


Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;
b) 5^{x^2-5x+6}=1 \;
c) 3^{1-x^2}=2\;
d) 2^x+2^{x+1}=12\;

Ecuaciones logarítmicas

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas


Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) log \ x + log \ 50 = 3
b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32
c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas


(Pág. 61)

7 y 8

Ecuaciones factorizadas

Las ecuaciones factorizadas son ecuaciones del tipo:

(factor_1) \cdot (factor_2) \cdot \ \cdots \  \cdot (factor_n) = 0

donde cada factor puede ser una expresión algebraica, logarítmica, exponencial, trigonométrica, o combinación de estas.

ejercicio

Resolución de las ecuaciones factorizadas


Como para que un producto de números reales sea cero basta con que uno de ellos sea cero, las soluciones se obtendrán igualando a cero cada uno de los factores y resolviendo la ecuación resultante. Dependiendo de como sea cada factor tendremos que aplicar alguna de las distintas técnicas estudiadas anteriormente.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación factorizada


Resuelve la ecuación x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Ecuaciones factorizadas


(Pág. 62)

9 al 16

Ecuaciones polinómicas de grado superior a 2

En este apartado vamos a ver ecuaciones polinómicas de grado superior a 2, no bicuadradas, que requerirán del uso de la regla de Ruffini.

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda