Otros tipos de ecuaciones (4ºESO Académicas)

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==Ecuaciones con la x en el denominador== ==Ecuaciones con la x en el denominador==
-{{Caja_Amarilla|texto=Las puedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, con el '''mínimo común múltiplo de los denominadores''' y de dos maneras:+{{Caja_Amarilla|texto=Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el '''mínimo común múltiplo de los denominadores'''. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.
-1º.- Dividiendo el m.c.m. entre cada denominador y multiplicando el resultado por el numerador, en los dos miembros de la ecuación.+En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas.
- +
-2º.- Multiplicando el m.c.m. por cada uno de los numeradores y en los dos miembros de la ecuación.+
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-De las dos formas anteriores desaparecen los denominadores y la ecuación resultante debe ser posible de resolver.+
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-En los procesos de multiplicar por polinomios pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas.+
}} }}
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con x en el denominador'' {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con x en el denominador''
-|enunciado=Resuelve las ecuación:+|enunciado=Resuelve las ecuación: <math> \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10} </math>
-<center><math> \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10} </math> </center>+|sol=El m.c.m. de los denominadores es <math>10x(x+3)\,\!</math>. Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen:
-|sol=Multiplicamos los dos miembros por <math>10x(x+3)\,\!</math>.+
-<math>10(x+3)-10x = 3x(x+3) \rightarrow 10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0 \rightarrow+:<math>10(x+3)-10x = 3x(x+3)\;</math>
 + 
 +Simplificamos la ecuación resultante:
 + 
 +:<math>10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0
</math> </math>
-<math>x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2}+ 
 +Y la resolvemos:
 + 
 +:<math>x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2}
</math> </math>
-Hay dos soluciones: 2 y -5. Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y son válidas:+Hay dos soluciones: <math>x=2\;</math> y <math>x=-5\;</math>. Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y resultan ser válidas:
<center> <center>
<math> \frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}</math> </center> <math> \frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}</math> </center>

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Tabla de contenidos

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable x^2=y\,\! entonces la ecuación quedará como una de segundo grado ay^2 + by + c = 0 \,\!

La resolvemos, y desechamos los valores de y<0\,\! que no dan solución en las x\,\! y nos queamos con las soluciones positivas que nos daran dos valores de x\,\! x=\pm \sqrt{y}

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas


Resuelve las ecuaciones:

a) x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!
b) x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\!
c) x^4 - 9x^2 = 0 \;\!

Ecuaciones con la x en el denominador

Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el mínimo común múltiplo de los denominadores. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador


Resuelve las ecuación: \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10}

Ecuaciones con radicales

Hay veces que nos encontraremos con ecuaciónes que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial siempre para detectar las soluciones erroneas.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones con radicales


Resuelve las ecuaciones:

\sqrt{3x-5} +1=x \;\!
\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!

Ecuaciones factorizadas: (...) \cdot (...) \cdot (...) = 0

Para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero. Entonces para resolver una ecuación de este tipo, cada paréntesis se iguala a cero y se resuelve dicha ecuación.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación factorizada


Resuelve la ecuación:

x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!
Herramientas personales
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