Otros tipos de ecuaciones (4ºESO Académicas)

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(Ecuaciones factorizadas: <math> (...) \cdot (...) \cdot (...) = 0 </math>)
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==Ecuaciones bicuadradas== ==Ecuaciones bicuadradas==
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-Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma <math>ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!</math>+Las '''ecuaciones bicuadradas''' Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma
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El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable <math>x^2=y\,\!</math> entonces la ecuación quedará como una de segundo grado <math>ay^2 + by + c = 0 \,\!</math> El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable <math>x^2=y\,\!</math> entonces la ecuación quedará como una de segundo grado <math>ay^2 + by + c = 0 \,\!</math>
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<math>y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}</math> <math>y = \frac{7 \pm \sqrt{49-24}}{2}=\frac{7 \pm 5}{2} \rightarrow \begin{cases} y=1 \rightarrow x= \pm \sqrt 1 = \pm 1 \\ y=6 \rightarrow x= \pm \sqrt 6 \end{cases}</math>
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<math>y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}</math> <math>y = \frac{3 \pm \sqrt{9+40}}{2}=\frac{3 \pm 7}{2} \rightarrow \begin{cases} y=-2 \rightarrow \mbox {No existe solucion para x} \\ y=5 \rightarrow x= \pm \sqrt 5 \end{cases}</math>
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- +:c) <math>x^4 - 9x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \}\rightarrow y^2-9y</math>
- +
-<math>x^4 - 9x^2 = 0 \rightarrow \left \{ x^2=y \right \} y^2-9y</math>+
<math> y(y-9)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}</math> <math> y(y-9)=0 \rightarrow \begin{cases} y=0 \rightarrow x= 0 \\ y=9 \rightarrow x= \pm \sqrt 9 = \pm 3 \end{cases}</math>

Revisión de 21:30 1 ene 2009

Tabla de contenidos

Ecuaciones bicuadradas

Las ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de cuarto grado pero tienen una característica que las hace especiales: no tienen terminos de grado impar, es decir son de la forma

ax^4 + bx^2 +c = 0\,\!

El truco para resolverlas es hacer el cambio de variable x^2=y\,\! entonces la ecuación quedará como una de segundo grado ay^2 + by + c = 0 \,\!

La resolvemos, y desechamos los valores de y<0\,\! que no dan solución en las x\,\! y nos queamos con las soluciones positivas que nos daran dos valores de x\,\! x=\pm \sqrt{y}

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones bicuadradas


Resuelve las ecuaciones:

a) x^4 - 7x^2 + 6 = 0\;\!
b) x^4 - 3x^2 - 10 = 0\;\!
c) x^4 - 9x^2 = 0 \;\!

Ecuaciones con la x en el denominador

Las puedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, con el mínimo común múltiplo de los denominadores y de dos maneras:

1º.- Dividiendo el m.c.m. entre cada denominador y multiplicando el resultado por el numerador, en los dos miembros de la ecuación.

2º.- Multiplicando el m.c.m. por cada uno de los numeradores y en los dos miembros de la ecuación.

De las dos formas anteriores desaparecen los denominadores y la ecuación resultante debe ser posible de resolver.

En los procesos de multiplicar por polinomios pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador


Resuelve las ecuación:

\frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10}

Ecuaciones con radicales

Hay veces que nos encontraremos con ecuaciónes que tienen la x dentro de raices cuadradas para solucionarlas hay que aislar las raices una a una e ir elevando al cuadrado para eliminarlas.

Al elevar al cuadrado y buscar la solución aparecen soluciones debidas al proceso (de elevar al cuadrado para eliminar las raíces) estas soluciones son erroneas y hay que rechazarlas. Hay que hacer la comprobación en la ecuación inicial siempre para detectar las soluciones erroneas.

ejercicio

Ejemplo: Ecuaciones con radicales


Resuelve las ecuaciones:

\sqrt{3x-5} +1=x \;\!
\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+7} = 4 \;\!

Ecuaciones factorizadas: (...) \cdot (...) \cdot (...) = 0

Para que un producto sea cero basta con que uno de los factores sea cero. Entonces para resolver una ecuación de este tipo, cada paréntesis se iguala a cero y se resuelve dicha ecuación.

ejercicio

Ejemplo: Ecuación factorizada


Resuelve la ecuación:

x \cdot (x-5)\cdot (3x+1)=0\;\!
Herramientas personales
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