Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 19:08 12 oct 2016

Menú:

Enlaces internos	Para repasar o ampliar	Enlaces externos
Indice Descartes Manual Casio		WIRIS Geogebra Calculadoras

Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.

He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son paralelas:

Proposición

Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son proporcionales.
Dos rectas son paralelas si sus vectores normales son proporcionales.
Dos rectas son paralelas si sus pendientes coinciden.

Demostración:

La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores tiene la misma dirección si son proporcionales.

Si los vectores normales son proporcionales es porque tienen la misma dirección, entonces los vectores directores también la tienen y también serán proporcionales.

Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales.

He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:

Proposición

Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores de dirección es cero: $\vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0$

Dos rectas son perpendiculares si el producto escalar de sus vectores normales es cero: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$

Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes, $m\,$ y $m'\,$ , cumplen que: $m'=-\cfrac{1}{m}$ .

Demostración:

La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero.

La segunda también ya que si los vectores normales son ortogonales, también lo son los vectores directores.

Para la tercera afirmación: Dada una recta $Ax+By+C=0\,$ , sabemos que $m=-\cfrac{A}{B}$ es la pendiente de esa recta y que $(-B,A)\,$ es su vector de dirección.

Sea $A'x+B'y+'C'=0\,$ , otra recta, con $m'=-\cfrac{A'}{B'}$ su pendiente, y $(-B',A')\,$ su vector de dirección.

Supongamos que $m'=-\cfrac{1}{m}$ . Sustituyendo:

$m'=-\cfrac{1}{m} \; \rightarrow \; -\cfrac{A'}{B'}= -\cfrac{1}{-\cfrac{A}{B}} \; \rightarrow \; -\cfrac{A'}{B'}=\cfrac{B}{A} \; \rightarrow \;$

$\; \rightarrow \; BB'=-AA' \; \rightarrow \; BB'+AA'=0 \; \rightarrow \; (-B,A) \cdot (-B',A')= 0$

Ahora, dos vectores son ortogonales si su producto escalar vale cero. Por tanto, los vectores directores de ambas rectas son perpendiculares.

Traduciendo ésto a coordenadas:

Proposición

Dos rectas con vectores de dirección $(d_1, d_2)\,$ y $(-d_2,d_1)\,$ son perpendiculares.

Demostración:

Es inmediato a partir de lo dicho antes ya que el producto escalar de estos dos vectores es cero.

Paralelismo y perpendicularidad Descripción:

En esta escena podrás practicar con la posición relativa de dos rectas.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos: Paralelismo y perpendicularidad

(Pág. 198)

1, 2

(Pág. 199)

3, 5

4, 6

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Paralelismo_y_perpendicularidad_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"

Categorías: Matemáticas | Geometría

 {{Geogebra_enlace
 |descripcion=En esta escena podrás practicar con la posición relativa de dos rectas.
-|enlace=[https://ggbm.at/wbkpRywm Paralelismo y perpendicularidad]
+|enlace=[https://ggbm.at/eVeyHKMz Paralelismo y perpendicularidad]
 }}
 {{p}}

Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión de 19:08 12 oct 2016

Paralelismo

Perpendicularidad

Ejercicios propuestos

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas