Paralelismo y perpendicularidad en el plano (1ºBach)

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*Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación. *Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.
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Paralelismo

Dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección.

He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son paralelas:

ejercicio

Proposición

Dos rectas son paralelas si:

  • Sus vectores de dirección son proporcionales.
  • Sus vectores normales son proporcionales.
  • Sus pendientes coinciden.
Demostración:
  • La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son paralelas si tienen la misma dirección y sabemos que dos vectores tiene la misma dirección si son proporcionales.
  • Si los vectores normales son proporcionales es porque tienen la misma dirección, entonces los vectores directores también la tienen y también serán proporcionales.
  • Para la segunda afirmación, recordemos que la pendiente de una recta coincide con la tangente del ángulo que forma con el eje de abscisas, por tanto, si dos rectas tienen la misma pendiente, las tangentes de los ángulos que forman, serán iguales. Ahora, si las tangentes de dos ángulos son iguales, los ángulos o son iguales o difieren en 180º. En ambos casos las rectas tienen la misma inclinación.

Ejemplo (rectas paralelas) (6'17")     Sinopsis:

Comprueba que las rectas r1:2x + y + 1 = 0 y r2:2y = − 5 − 4x son paralelas.

Perpendicularidad

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales.

He aquí tres criterios para determinar si dos rectas son perpendiculares:

ejercicio

Proposición

Dos rectas son perpendiculares si:

  • El producto escalar de sus vectores de dirección es cero: \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} = 0
  • El producto escalar de sus vectores normales es cero: \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0
  • Sus pendientes, m\, y m'\,, cumplen que: m'=-\cfrac{1}{m}.
Demostración:
  • La primera afirmación es inmediata ya que dos rectas son perpendiculares si sus vectores de dirección son ortogonales y esto ocurre cuando el producto escalar de ambos es cero.
  • La segunda también ya que si los vectores normales son ortogonales, también lo son los vectores directores.
  • Para la tercera afirmación: Dada una recta Ax+By+C=0\,, sabemos que m=-\cfrac{A}{B} es la pendiente de esa recta y que (-B,A)\, es su vector de dirección.

Sea A'x+B'y+'C'=0\,, otra recta, con m'=-\cfrac{A'}{B'} su pendiente, y (-B',A')\, su vector de dirección.

Supongamos que m'=-\cfrac{1}{m}. Sustituyendo:

m'=-\cfrac{1}{m} \; \rightarrow \; -\cfrac{A'}{B'}= -\cfrac{1}{-\cfrac{A}{B}} \; \rightarrow \; -\cfrac{A'}{B'}=\cfrac{B}{A} \; \rightarrow \;
\; \rightarrow \; BB'=-AA' \; \rightarrow \; BB'+AA'=0 \; \rightarrow \; (-B,A) \cdot (-B',A')= 0
Ahora, dos vectores son ortogonales si su producto escalar vale cero. Por tanto, los vectores directores de ambas rectas son perpendiculares.

Ejemplo (6'04")     Sinopsis:

Comprueba que las rectas r1 = 2x + 3y + 5 = 0 y r2 = − 3x + 2y + 6 = 0 son perpendiculares.

Traduciendo el resultado anterior a coordenadas:

ejercicio

Proposición

Dos rectas con vectores de dirección (d_1, d_2)\, y (-d_2,d_1)\, son perpendiculares.

Demostración:
Es inmediato a partir de lo dicho antes ya que el producto escalar de estos dos vectores es cero.

Paralelismo y perpendicularidad     Descripción:

En esta escena podrás practicar con el paralelismo y perpendicularidad rectas.

ejercicio

Ejercicios resueltos: Paralelismo y perpendicularidad entre rectas

Dada la recta r: 3x-7y+10=0, halla:

a) Las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular a r que pase por P(2,-4).
b) La ecuación explícita de la recta paralela a r que pase por el origen.
Solución:
a) \begin{cases} x=2+ 3t \\ y=-4- 7t \end{cases}
b) y=\cfrac{3}{7}\,x

Ejemplos: Paralelismo y perpendicularidad entre rectas (6'20")     Sinopsis:

Ecuaciones de la recta paralela y perpendicular a una dada.

Aplicación: Mediatriz de un segmento (6'49")     Sinopsis:

Cálculo de la mediatriz de un segmento como la perpendicular que pasa por su punto medio.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Paralelismo y perpendicularidad

(Pág. 198)

1, 2

(Pág. 199)

3, 5

4, 6

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Paralelismo_y_perpendicularidad_en_el_plano_%281%C2%BABach%29"
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