Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== ==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;</math> una función polinómica en la variable x, de grado n.+{{Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito}}
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-Se cumple que:+
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-*<math>\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}</math>+
-*<math>\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n =+
-\begin{cases} +
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par}+
-\\ +
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar}+
-\\ +
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par}+
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--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar}+
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-\end{cases}</math>+
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-{{p}}+
-Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).+
-{{p}}+
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+
-*<math>\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>+
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-*<math>\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty</math>+
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-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty</math>+
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-*<math>\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>+
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-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty</math>+
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-*<math>\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty</math>+
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-{{p}}+
-{{Video_enlace_fonemato+
-|titulo1=Límite de un polinomio en el infinito+
-|duracion=9'59"+
-|sinopsis=Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.+
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-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/10-limite-de-un-polinomio-en-el-infinito-3+
-}}+
==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== ==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==

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Tabla de contenidos

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

  • Decimos que "x\; tiende a + infinito" (x \rightarrow + \infty) cuando x\; toma valores positivos tan grandes como queramos.
  • Decimos que "x\; tiende a - infinito" (x \rightarrow - \infty) cuando x\; toma valores negativos tan pequeños como queramos.

Nota: A veces te podrás encontrar también la expresión "x\; tiende a infinito" (x \rightarrow \infty) cuando x\; tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito. Nosotros intentaremos evitarlo para no crear confusión aunque eso nos suponga tener que escribir más.

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera.
En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.


En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


(Pág. 282)

1

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases}  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es impar} \\  -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0  \ \mbox{y n es impar}  \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)\; una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0        (lo mismo si x \to - \infty)

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

Se cumple que:

\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}         (análogamente si x \to - \infty)

Se pueden dar los siguientes casos:

  • grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser + \infty ó - \infty.
  • grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, \cfrac{a_n}{b_n}, que es el valor del límite.
  • grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito


(Pág. 283-284)

1, 4, 5

2, 3

(Pág. 285)

1, 2

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