Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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(Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito)
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Línea 1: Línea 1:
==Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito== ==Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito==
-Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a <math> + \infty</math> (o a <math> - \infty</math>) son los siguientes:+{{limite en el infinito}}
-{{p}}+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan grandes que no se pueden acotar.+
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.+
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan proximos a <math>L\;</math> como se quiera. En este caso se dice que la recta <math>y=L\;</math> es una '''asíntota horizontal''' (A.H.) de la función.+
-{{p}}+
-----+
-En estas tres definiciones se puede cambiar <math>x \to +\infty</math> por <math>x \to -\infty</math> para obtener otras tres definiciones análogas.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito''|enunciado=+
-Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math>, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.+
-:a) <math>f(x)= \cfrac{1}{x}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>f(x)= x^3\;</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>f(x)= 2^x\;</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>f(x)= log \, x</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>f(x)= sen \, x </math>+
-|sol=+
-:a) <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>+ \infty</math>)+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>)+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:b) <math>\lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty</math> +
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty</math>+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:c) <math>\lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty</math>+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} 2^x= 0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>)+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:d) <math>\lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty</math>+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}</math>+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:e) <math>\lim_{x \to + \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math>+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math>+
-----+
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:+
- +
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.+
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
Línea 58: Línea 13:
==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== ==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;</math> una función polinómica en la variable x, de grado n.+{{Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito}}
-Se cumple que:+==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
- +{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que:
-*<math>\lim_{x \to + \infty} P(x)= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}</math>+
-*<math>\lim_{x \to - \infty} P(x)= +
-\begin{cases} +
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par}+
-\\ +
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar}+
-\\ +
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par}+
-\\+
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar}+
- +
-\end{cases}</math>+
 +*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>{{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>)
}} }}
-{{p}} 
-Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x). 
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido= {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
-*<math>\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>+*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math>
-*<math>\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty</math>+*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math>
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty</math>+}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejemplos
 +|duracion=15'59"
 +|sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de de una función inversa de polinómica.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>+|url1=https://youtu.be/wm-HUNf0y28?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{p}}
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty</math>+==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito==
 +{{Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito}}
 +{{p}}
 +==Ejercicios y videotutoriales==
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Tutorial 1a
 +|duracion=14'10"
 +|sinopsis=Comparación de infinitos (exponenciales, polinómicas y logarítmicas)
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty</math>+|url1=https://youtu.be/jeTPlVGA0_U?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=7'18"
 +|sinopsis=Comparación de infinitos: orden de un infinito (exponenciales, polinómicas y logarítmicas)
 +|url1=https://youtu.be/GSqY4mm4hkw
}} }}
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=6'48"
 +|sinopsis=Límites cuando x tiende a -infinito. Otra forma de hacerlos.
-==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==+|url1=https://youtu.be/51l3p_mJyRc?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que:+}}
 +----
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Ejercicios 1
 +|duracion=12'45"
 +|sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de diferencias con radicales y límites de potencias.
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>+|url1=https://youtu.be/k5GJeQZuDNw?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
 +}}
 +{{Video_enlace_LaMejorAsesoríaEducativa
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=26'20"
 +|sinopsis=Ejercicios de límites de funciones racionales, polinómicas y radicales de racionales, cuando x tiende a infinito
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>+|url1=https://youtu.be/_R8z7XRevHc?list=PLyC1b2B57_HFW-7Heqe9j0gMggFTSUSOZ
}} }}
-{{p}}+{{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones con radicales|enunciado=
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+{{Video_enlace_profealex
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math>+|titulo1=Ejercicio 1a
 +|duracion=9'50"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math>+|url1=https://youtu.be/LBmXC7WkGoI?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 1b
 +|duracion=12'01"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
 +|url1=https://youtu.be/MdCyLM4Kduk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 1c
 +|duracion=10'00"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
-==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito==+|url1=https://youtu.be/Qpc_NkjJ8kc?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^n+b_{m-1}x^{n-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math> una función racional en la variable x.+}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 1d
 +|duracion=14'49"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito.
-Se cumple que:+|url1=https://youtu.be/PO47o0ibDV4?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2a
 +|duracion=4'14"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-:<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>)+|url1=https://youtu.be/VluV3fxCySg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2b
 +|duracion=3'51"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-Tras simplificar esa fracción, se pueden dar los siguientes casos:+|url1=https://youtu.be/YdEunJEwsoA?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2c
 +|duracion=6'46"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*'''grado(P) > grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>.+|url1=https://youtu.be/jILqifoOxeE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
-*'''grado(P )= grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una constante, <math>\cfrac{a_n}{b_n}</math>, que es el valor del límite.+
-*'''grado(P) < grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.+
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matefacil
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+|titulo1=Ejercicio 2d
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2-5x+3}{3x-5} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2}{3x} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x}{3} = - \infty</math>+|duracion=7'45"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2+3}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x} = 0</math>+|url1=https://youtu.be/403jr0WxYNo?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2e
 +|duracion=5'14"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2-5x+1}{2x^2-6} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2}{2x^2} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3}{2} = \cfrac{3}{2}</math>+|url1=https://youtu.be/sCzBpMfYT_0?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2f
 +|duracion=5'39"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +|url1=https://youtu.be/mLNWhDXveuE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
}} }}
-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_matefacil
-|titulo1=Límite de una función en el infinito+|titulo1=Ejercicio 2g
-|duracion=17'30"+|duracion=5'44"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0209.html+ 
 +|url1=https://youtu.be/LuqmcGbardg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
}} }}
-{{p}} 
-{{Video_enlace2 
-|titulo1=Límite de un polinomio en el infinito 
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-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com 
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0210.html 
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-{{p}}+{{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones trigonométricas|enunciado=
-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_profealex
-|titulo1=Límite de una función racional en el infinito+|titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=11'23"+|duracion=5'52"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211.html+ 
 +|url1=https://youtu.be/SCbkQD9LcRs?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_profealex
-{{ejemplo2+|titulo1=Ejercicio 2
-|titulo=Ejemplos: ''Límite de una función racional en el infinito''+|duracion=8'06"
-|enunciado=+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-{{Video_enlace2+ 
-|titulo1=1. Ejemplos+|url1=https://youtu.be/kqOPi_-gWjs?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
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-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+
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-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_profealex
-|titulo1=2. Ejemplos+|titulo1=Ejercicio 3
-|duracion=12'19"+|duracion=7'35"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211_02.html+ 
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-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_profealex
-|titulo1=3. Ejemplos+|titulo1=Ejercicio 4
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}} }}
-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_profealex
-|titulo1=4. Ejemplos+|titulo1=Ejercicio 5
-|duracion=11'14"+|duracion=7'43"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
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 +|url1=https://youtu.be/qxfxyb6p14U?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_profealex
-|titulo1=5. Ejemplos+|titulo1=Ejercicio 6
-|duracion=14'54"+|duracion=8'20"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211_05.html+ 
 +|url1=https://youtu.be/Xq39rh0qe0Y?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_profealex
-|titulo1=6. Ejemplos+|titulo1=Ejercicio 7
-|duracion=13'09"+|duracion=10'53"
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-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211_06.html+ 
 +|url1=https://youtu.be/ZW1D_yhj8ag?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
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-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_profealex
-|titulo1=7. Ejemplos+|titulo1=Ejercicio 8
-|duracion=25'11"+|duracion=4'38"
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211_07.html+ 
-}}+|url1=https://youtu.be/vWQf6Ydowuk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
-{{Video_enlace2+
-|titulo1=8. Ejemplos+
-|duracion=18'16"+
-|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com+
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_02/vdf0211_08.html+
}} }}
}} }}

Revisión de 11:43 1 abr 2020

Tabla de contenidos

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

  • Decimos que "x\; tiende a + infinito" (x \rightarrow + \infty) cuando x\; toma valores positivos tan grandes como queramos.
  • Decimos que "x\; tiende a - infinito" (x \rightarrow - \infty) cuando x\; toma valores negativos tan pequeños como queramos.
  • A veces te podrás encontrar también la expresión "x\; tiende a infinito" (x \rightarrow \infty) cuando x\; tiende, indistintamente, a + \infty o a - \infty, aunque también hay quien la usa en lugar de x \rightarrow + \infty.

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera.
En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.


En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


(Pág. 282)

1

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases}  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es impar} \\  -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0  \ \mbox{y n es impar}  \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)\; una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0        (lo mismo si x \to - \infty)

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

Se cumple que:

\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}         (análogamente si x \to - \infty)

Se pueden dar los siguientes casos:

  • grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser + \infty ó - \infty.
  • grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, \cfrac{a_n}{b_n}, que es el valor del límite.
  • grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejercicios y videotutoriales


Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito


(Pág. 283-284)

1, 4, 5

2, 3

(Pág. 285)

1, 2

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