Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

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(Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito)
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(Ejercicios y videotutoriales)
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Línea 1: Línea 1:
==Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito== ==Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito==
- +{{limite en el infinito}}
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-*Decimos que '''"<math>x\;</math> tiende a + infinito"''' (<math>x \rightarrow + \infty</math>) cuando <math>x\;</math> toma valores positivos tan grandes como queramos.+
-*Decimos que '''"<math>x\;</math> tiende a - infinito"''' (<math>x \rightarrow - \infty</math>) cuando <math>x\;</math> toma valores negativos tan pequeños como queramos.+
-}}+
-{{p}}+
-'''Nota:''' A veces te podrás encontrar también la expresión '''"<math>x\;</math> tiende a infinito"''' (<math>x \rightarrow \infty</math>) cuando <math>x\;</math> tiende, indistintamente, a + infinito o a - infinito. Nosotros intentaremos evitarlo para no crear confusión aunque eso nos suponga tener que escribir más.+
-{{p}}+
-Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a <math> + \infty</math> (o a <math> - \infty</math>) son los siguientes:+
-{{p}}+
-{{Caja_Amarilla|texto=+
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan grandes que no se pueden acotar.+
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.+
-*<math>\lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R}</math> si cuando <math>x \to + \infty</math>, los valores de <math>f(x)\;</math> se hacen tan proximos a <math>L\;</math> como se quiera.+
- +
-:En este caso se dice que la recta <math>y=L\;</math> es una '''asíntota horizontal''' (A.H.) de la función.+
-{{p}}+
-----+
-En estas tres definiciones se puede cambiar <math>x \to +\infty</math> por <math>x \to -\infty</math> para obtener otras tres definiciones análogas.+
-}}+
-{{p}}+
-{{Videotutoriales|titulo=Límite de una función en el infinito|enunciado=+
-{{Video_enlace_fonemato+
-|titulo1=Tutorial+
-|duracion=17'30"+
-|sinopsis=En este vídeo hablamos del límite de la función "f" cuando x → +∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞. También hablamos del límite de "f" cuando x → -∞; ya sea dicho límite finito, +∞ ó -∞.+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/09-limite-de-una-funcion-en-el-infinito-3+
-}}+
-{{Video_enlace_julioprofe+
-|titulo1=Ejemplos+
-|duracion=12'33"+
-|sinopsis=4 ejemplos muy sencillos.+
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=P4Ui8wukDK0+
-}}+
-}}+
-{{p}}+
-{{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito''|enunciado=+
-Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en <math>+ \infty</math> y <math>- \infty</math>, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.+
-:a) <math>f(x)= \cfrac{1}{x}</math>{{b4}}{{b4}}b) <math>f(x)= x^3\;</math>{{b4}}{{b4}}c) <math>f(x)= 2^x\;</math>{{b4}}{{b4}}d) <math>f(x)= log \, x</math>{{b4}}{{b4}}e) <math>f(x)= sen \, x </math>+
-|sol=+
-:a) <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>+ \infty</math>)+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to -\infty} \cfrac{1}{x}=0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>)+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:b) <math>\lim_{x \to + \infty} x^3= + \infty</math> +
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} x^3= - \infty</math>+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:c) <math>\lim_{x \to + \infty} 2^x= + \infty</math>+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} 2^x= 0</math>{{b4}}(La recta y=0 es una A.H. por <math>- \infty</math>)+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:d) <math>\lim_{x \to + \infty} log \, x=+ \infty</math>+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} log \, x= \mbox{no tiene sentido plantearlo}</math>+
-{{p}}+
-{{b}}+
- +
-:e) <math>\lim_{x \to + \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math>+
-:{{b4}}<math>\lim_{x \to - \infty} f(x)= sen \, x = \mbox{ no existe por ser oscilante} </math>+
-----+
-Haz uso de la siguiente escena de Geogebra para comprobar la solución:+
- +
-{{p}}+
-{{Geogebra_enlace+
-|descripcion=En esta escena podrás representar funciones definidas en hasta 4 trozos.+
-|enlace=[https://ggbm.at/JCV99Kf8 Representador de funciones]+
-}}+
-}}+
{{p}} {{p}}
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
Línea 83: Línea 13:
==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito== ==Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\;</math> una función polinómica en la variable x, de grado n.+{{Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a infinito}}
-Se cumple que:+==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==
- +{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que:
-*<math>\lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \end{cases}</math>+
-*<math>\lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n =+
-\begin{cases} +
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par}+
-\\ +
-+\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es impar}+
-\\ +
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0 \ \mbox{y n es par}+
-\\+
--\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es impar}+
- +
-\end{cases}</math>+
 +*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>{{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>)
}} }}
-{{p}} 
-Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x). 
{{p}} {{p}}
{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido= {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=
-*<math>\lim_{x \to + \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>+*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math>
-*<math>\lim_{x \to + \infty} -3x^4-2x^2 = - \infty</math>+*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math>
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^3-2x^2 = + \infty</math>+}}
 +{{p}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejemplos
 +|duracion=15'59"
 +|sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de de una función inversa de polinómica.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 5x^4-2x^2 = + \infty</math>+|url1=https://youtu.be/wm-HUNf0y28?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{p}}
-*<math>\lim_{x \to - \infty} -2x^2-2x^2 = - \infty</math>+==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito==
 +{{Límite de funciones racionales cuando x tiende a infinito}}
 +{{p}}
 +==Ejercicios y videotutoriales==
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Tutorial 1a
 +|duracion=14'10"
 +|sinopsis=Comparación de infinitos (exponenciales, polinómicas y logarítmicas)
-*<math>\lim_{x \to - \infty} 2x^3-2x^2 = - \infty</math>+|url1=https://youtu.be/jeTPlVGA0_U?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
 +}}
 +{{Video_enlace_8cifras
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=7'18"
 +|sinopsis=Comparación de infinitos: orden de un infinito (exponenciales, polinómicas y logarítmicas)
 +|url1=https://youtu.be/GSqY4mm4hkw
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matesandres
-{{Video_enlace_fonemato+|titulo1=Tutorial 3
-|titulo1=Límite de un polinomio en el infinito+|duracion=6'48"
-|duracion=9'59"+|sinopsis=Límites cuando x tiende a -infinito. Otra forma de hacerlos.
-|sinopsis=Al calcular el límite de un polinomio en el infinito (x → +∞ ó x → -∞) sólo debes preocuparte del sumando de mayor grado, pues es él quien corta el bacalao.+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/10-limite-de-un-polinomio-en-el-infinito-3+|url1=https://youtu.be/51l3p_mJyRc?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
}} }}
 +----
 +{{Video_enlace_matesandres
 +|titulo1=Ejercicios 1
 +|duracion=12'45"
 +|sinopsis=Límites cuando x tiende a infinito de diferencias con radicales y límites de potencias.
-==Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito==+|url1=https://youtu.be/k5GJeQZuDNw?list=PLNQqRPuLTic-qVXmLl-4BSvfbCDN9Xt8W
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Sea <math>P(x)\;</math> una función polinómica en la variable x. Se cumple que:+}}
 +{{Video_enlace_LaMejorAsesoríaEducativa
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=26'20"
 +|sinopsis=Ejercicios de límites de funciones racionales, polinómicas y radicales de racionales, cuando x tiende a infinito
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0</math>{{b4}}{{b4}}(lo mismo si <math>x \to - \infty</math>)+|url1=https://youtu.be/_R8z7XRevHc?list=PLyC1b2B57_HFW-7Heqe9j0gMggFTSUSOZ
}} }}
-{{p}}+{{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones con radicales|enunciado=
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+{{Video_enlace_profealex
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{5x^4-2x^2} = 0</math>+|titulo1=Ejercicio 1a
 +|duracion=9'50"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{1}{-3x^2} = 0 </math>+|url1=https://youtu.be/LBmXC7WkGoI?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 1b
 +|duracion=12'01"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
 +|url1=https://youtu.be/MdCyLM4Kduk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 1c
 +|duracion=10'00"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
-{{p}}+|url1=https://youtu.be/Qpc_NkjJ8kc?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 1d
 +|duracion=14'49"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito.
-==Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito==+|url1=https://youtu.be/PO47o0ibDV4?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
-{{Teorema_sin_demo|titulo=Proposición|enunciado=Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:+}}
-{{p}}+{{Video_enlace_matefacil
-<center><math>\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;</math></center>+|titulo1=Ejercicio 2a
-{{p}}+|duracion=4'14"
-Se cumple que:+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-<center><math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}</math> {{b4}}{{b4}}(análogamente si <math>x \to - \infty</math>)</center>+|url1=https://youtu.be/VluV3fxCySg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2b
 +|duracion=3'51"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-Se pueden dar los siguientes casos:+|url1=https://youtu.be/YdEunJEwsoA?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2c
 +|duracion=6'46"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*'''grado(P) > grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser <math>+ \infty</math> ó <math>- \infty</math>.+|url1=https://youtu.be/jILqifoOxeE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
-*'''grado(P ) = grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una constante, <math>\cfrac{a_n}{b_n}</math>, que es el valor del límite.+
-*'''grado(P) < grado(Q):''' tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.+
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matefacil
-{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos:|contenido=+|titulo1=Ejercicio 2d
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2-5x+3}{3x-5} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x^2}{3x} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{x}{3} = - \infty</math>+|duracion=7'45"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*<math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2+3}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{x^2}{x^3} =\lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{x} = 0</math>+|url1=https://youtu.be/403jr0WxYNo?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2e
 +|duracion=5'14"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-*<math>\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2-5x+1}{2x^2-6} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3x^2}{2x^2} =\lim_{x \to - \infty} \cfrac{3}{2} = \cfrac{3}{2}</math>+|url1=https://youtu.be/sCzBpMfYT_0?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2f
 +|duracion=5'39"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +|url1=https://youtu.be/mLNWhDXveuE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
}} }}
-{{p}}+{{Video_enlace_matefacil
-{{Videotutoriales|titulo=Límite de una función racional en el infinito|enunciado=+|titulo1=Ejercicio 2g
-{{Video_enlace_fonemato+|duracion=5'44"
-|titulo1=Tutorial+|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
-|duracion=11'23"+
-|sinopsis=Para calcular el límite de un cociente de polinomios cuando x → +∞ o cuando x → -∞, dividimos numerador y denominador por la mayor potencia de "x" que aparezca en el denominador.+
-*Si numerador y denominador son de igual grado, el límite es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado del numerador y el denominador.+|url1=https://youtu.be/LuqmcGbardg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
-*Si el numerador es de menor grado que el denominador, el límite es 0.+
-*Si el numerador es de mayor grado que el denominador, el límite es +∞ ó -∞ según que el numerador y el denominador tengan igual signo o no.+
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/16-limites-de-funciones/11-limite-de-un-cociente-de-polinomio-en-el-infinito+
}} }}
-----+}}
-{{Video_enlace_virtual+{{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones trigonométricas|enunciado=
 +{{Video_enlace_profealex
|titulo1=Ejercicio 1 |titulo1=Ejercicio 1
-|duracion=5'16"+|duracion=5'52"
-|sinopsis=Calcula: <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{4x}{x^2+9}</math>+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=q5_H_pVmKvQ&list=PLo7_lpX1yruNU7jUrbruoH5X98zcImk5W&index=1+|url1=https://youtu.be/SCbkQD9LcRs?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
-{{Video_enlace_virtual+{{Video_enlace_profealex
|titulo1=Ejercicio 2 |titulo1=Ejercicio 2
-|duracion=5'40"+|duracion=8'06"
-|sinopsis=Calcula: <math>\lim_{x \to + \infty} \cfrac{3x^2+x-2}{x^2-5}</math>+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=z7RRAEptsZE&list=PLo7_lpX1yruNU7jUrbruoH5X98zcImk5W&index=2+|url1=https://youtu.be/kqOPi_-gWjs?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
-{{Video_enlace_virtual+{{Video_enlace_profealex
|titulo1=Ejercicio 3 |titulo1=Ejercicio 3
-|duracion=4'32"+|duracion=7'35"
-|sinopsis=Calcula: <math>\lim_{x \to + \infty} log \, \cfrac{x^6-500}{x^6+500}</math>+|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
-|url1=https://www.youtube.com/watch?v=rOTgNIUN-mA&index=3&list=PLo7_lpX1yruNU7jUrbruoH5X98zcImk5W+|url1=https://youtu.be/Bjbreq2J48g?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=6'19"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
 + 
 +|url1=https://youtu.be/pF-olTyz-0k?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 5
 +|duracion=7'43"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
 + 
 +|url1=https://youtu.be/qxfxyb6p14U?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=8'20"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
 + 
 +|url1=https://youtu.be/Xq39rh0qe0Y?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=10'53"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
 + 
 +|url1=https://youtu.be/ZW1D_yhj8ag?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_profealex
 +|titulo1=Ejercicio 8
 +|duracion=4'38"
 +|sinopsis=Límite de raíces de funciones trigonométricas en el infinito.
 + 
 +|url1=https://youtu.be/vWQf6Ydowuk?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
}} }}
}} }}
-{{p}} 
===Ejercicios propuestos=== ===Ejercicios propuestos===
{{ejercicio {{ejercicio

Revisión de 11:43 1 abr 2020

Tabla de contenidos

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

  • Decimos que "x\; tiende a + infinito" (x \rightarrow + \infty) cuando x\; toma valores positivos tan grandes como queramos.
  • Decimos que "x\; tiende a - infinito" (x \rightarrow - \infty) cuando x\; toma valores negativos tan pequeños como queramos.
  • A veces te podrás encontrar también la expresión "x\; tiende a infinito" (x \rightarrow \infty) cuando x\; tiende, indistintamente, a + \infty o a - \infty, aunque también hay quien la usa en lugar de x \rightarrow + \infty.

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera.
En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.


En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


(Pág. 282)

1

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases}  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es impar} \\  -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0  \ \mbox{y n es impar}  \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)\; una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0        (lo mismo si x \to - \infty)

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

Se cumple que:

\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}         (análogamente si x \to - \infty)

Se pueden dar los siguientes casos:

  • grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser + \infty ó - \infty.
  • grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, \cfrac{a_n}{b_n}, que es el valor del límite.
  • grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejercicios y videotutoriales


Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito


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1, 4, 5

2, 3

(Pág. 285)

1, 2

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