Plantilla:Cálculo de límites en el infinito (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)
Revisión de 16:21 31 mar 2020
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito)
← Ir a diferencia anterior
Revisión de 16:48 31 mar 2020
Coordinador (Discusión | contribuciones)
(Ejercicios y videotutoriales)
Ir a siguiente diferencia →
Línea 71: Línea 71:
{{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones con radicales|enunciado= {{Videotutoriales|titulo=Límite de funciones con radicales|enunciado=
{{Video_enlace_profealex {{Video_enlace_profealex
-|titulo1=Ejercicio 1+|titulo1=Ejercicio 1a
|duracion=9'50" |duracion=9'50"
|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito. |sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
Línea 78: Línea 78:
}} }}
{{Video_enlace_profealex {{Video_enlace_profealex
-|titulo1=Ejercicio 2+|titulo1=Ejercicio 1b
|duracion=12'01" |duracion=12'01"
|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito. |sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
Línea 85: Línea 85:
}} }}
{{Video_enlace_profealex {{Video_enlace_profealex
-|titulo1=Ejercicio 3+|titulo1=Ejercicio 1c
|duracion=10'00" |duracion=10'00"
|sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito. |sinopsis=Límite de raíces de funciones racionales en el infinito.
Línea 92: Línea 92:
}} }}
{{Video_enlace_profealex {{Video_enlace_profealex
-|titulo1=Ejercicio 4+|titulo1=Ejercicio 1d
|duracion=14'49" |duracion=14'49"
|sinopsis=Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito. |sinopsis=Límite de raíces de funciones con radicales en el infinito.
|url1=https://youtu.be/PO47o0ibDV4?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn |url1=https://youtu.be/PO47o0ibDV4?list=PLeySRPnY35dG9t51yT4nCwQEtWwCwvBwn
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2a
 +|duracion=4'14"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +
 +|url1=https://youtu.be/VluV3fxCySg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2b
 +|duracion=3'51"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +
 +|url1=https://youtu.be/YdEunJEwsoA?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2c
 +|duracion=6'46"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +
 +|url1=https://youtu.be/jILqifoOxeE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2d
 +|duracion=7'45"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +
 +|url1=https://youtu.be/403jr0WxYNo?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2e
 +|duracion=5'14"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +
 +|url1=https://youtu.be/sCzBpMfYT_0?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2f
 +|duracion=5'39"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +
 +|url1=https://youtu.be/mLNWhDXveuE?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
 +}}
 +{{Video_enlace_matefacil
 +|titulo1=Ejercicio 2g
 +|duracion=5'44"
 +|sinopsis=Límite de funciones racionales con raíces en el infinito usando un método riguroso.
 +
 +|url1=https://youtu.be/LuqmcGbardg?list=PL9SnRnlzoyX0o0z-YWbg6P3Pz9I0xlklS
}} }}
}} }}

Revisión de 16:48 31 mar 2020

Tabla de contenidos

Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito

  • Decimos que "x\; tiende a + infinito" (x \rightarrow + \infty) cuando x\; toma valores positivos tan grandes como queramos.
  • Decimos que "x\; tiende a - infinito" (x \rightarrow - \infty) cuando x\; toma valores negativos tan pequeños como queramos.
  • A veces te podrás encontrar también la expresión "x\; tiende a infinito" (x \rightarrow \infty) cuando x\; tiende, indistintamente, a + \infty o a - \infty, aunque también hay quien la usa en lugar de x \rightarrow + \infty.

Los posibles comportamientos de una función cuando x tiende a + \infty (o a - \infty) son los siguientes:

  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=+\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan grandes que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=-\infty si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan pequeños y negativos que no se pueden acotar.
  • \lim_{x \to +\infty} f(x)=L \in \mathbb{R} si cuando x \to + \infty, los valores de f(x)\; se hacen tan proximos a L\; como se quiera.
En este caso se dice que la recta y=L\; es una asíntota horizontal (A.H.) de la función.


En estas tres definiciones se puede cambiar x \to +\infty por x \to -\infty para obtener otras tres definiciones análogas.

ejercicio

Ejemplo: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


Apoyándote en los conocimientos que tengas de la gráfica de las siguientes funciones, obten y comprueba el valor de sus límites en + \infty y - \infty, cuando éstos existan o tenga sentido calcularlos.

a) f(x)= \cfrac{1}{x}        b) f(x)= x^3\;        c) f(x)= 2^x\;        d) f(x)= log \, x        e) f(x)= sen \, x

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Comportamiento de una función cuando x tiende a (+/-) infinito


(Pág. 282)

1

Límite de funciones polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0\; una función polinómica en la variable x, de grado n.

Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} P(x)= \lim_{x \to + \infty} a_nx^n= \begin{cases} +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \end{cases}
  • \lim_{x \to - \infty} P(x)= \lim_{x \to - \infty} a_nx^n = \begin{cases}  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0 \ \mbox{y n es par} \\  +\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es impar} \\  -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n<0  \ \mbox{y n es par} \\ -\infty \ \ \mbox{si} \ \ a_n>0  \ \mbox{y n es impar}  \end{cases}

Observa cómo el valor del límite sólo depende del término de mayor grado del polinomio P(x).

Límite de funciones inversas de polinómicas cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Sea P(x)\; una función polinómica en la variable x. Se cumple que:

  • \lim_{x \to + \infty} \cfrac{1}{P(x)}= 0        (lo mismo si x \to - \infty)

Límite de funciones racionales cuando x tiende a (+/-) infinito

ejercicio

Proposición


Consideremos la función racional en la variable x, ya simplificada:

\cfrac{P(x)}{Q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots + a_1 x + a_0}{b_m x^m+b_{m-1}x^{m-1}+ \cdots + b_1 x + b_0}\;

Se cumple que:

\lim_{x \to + \infty} \cfrac{P(x)}{Q(x)}= \lim_{x \to + \infty} \cfrac{a_n x^n}{b_m x^m}         (análogamente si x \to - \infty)

Se pueden dar los siguientes casos:

  • grado(P) > grado(Q): tras simplificar la fracción queda el límite de una función polinómica, que ya sabemos calcular, y que sabemos que puede ser + \infty ó - \infty.
  • grado(P ) = grado(Q): tras simplificar la fracción queda una constante, \cfrac{a_n}{b_n}, que es el valor del límite.
  • grado(P) < grado(Q): tras simplificar la fracción queda una función inversa de una polinómica, cuyo límite sabemos que vale 0.

Ejercicios y videotutoriales

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Cálculo de límites cuando x tiende a (+/-) infinito


(Pág. 283-284)

1, 4, 5

2, 3

(Pág. 285)

1, 2

Herramientas personales
* AVISO: Para que te funcionen los applets de Java debes usar Internet Explorer y seguir las instrucciones de la Ayuda del menu de la izquierda