Plantilla:Cálculo del máximo común divisor

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-{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento+Ya sabemos encontrar todos los divisores de un número. Ahora nos interesa hallar un divisor en concreto. Queremos, de entre todos los divisores comunes a varios enteros, el mayor de ellos.
 + 
 +Y, ¿por qué el mayor?, ¿por qué un divisor común a varios números?, ¿para qué sirve esto?. Lo cierto es que el cálculo del máximo común divisor será muy útil para resolver problemas de divisibilidad en los que intervengan varios números. De ahí lo de común y lo de divisor. ¿Y por qué el mayor y no, por ejemplo, el menor? Piensa detenidamente... ¿Qué número es divisor de cualquier entero?. Efectivamente, el 1. ¿Crees que hay divisores menores que 1?
 + 
 +Una primera solución para encontrar el máximo común divisor de varios números podría ser calcular los divisores de cada uno de ellos y comprobar cuál es el mayor de los divisores comunes. A este método lo llamaremos "método artesanal".
 +{{p}}
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento artesanal
 +|enunciado=Para calcular el máximo común divisor de dos o más números se siguen los siguientes pasos:
 +#Averiguaremos todos los divisores de dichos números.
 +#De los divisores comunes (los que se repitan en todos) cogeremos el mayor.}}
 +{{p}}
 +{{Ejemplo_simple
 +|titulo=Ejemplo:
 +|contenido=
 +'''Calcula el m.c.d.(24,60) por el método artesanal'''
 + 
 +:''Divisores de 24:''{{b4}}1, 2, 3, 4, 6, 8, '''12''', 24
 +:''Divisores de 60:''{{b4}}1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, '''12''', 15, 20, 30, 60
 + 
 +:m.c.d.(24,60)= 12
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Máximo común divisor (método artesanal)|enunciado=
 +{{Video_enlace_pildoras
 +|titulo1=Tutorial
 +|duracion=6´36"
 +|url1=https://youtu.be/L-QQYjYU0NQ?list=PLwCiNw1sXMSBRdXXWmrBi1gHHpFDeppJE
 +|sinopsis=Problemas prácticos en los que calcularemos el m.c.d. por el método artesanal.
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=5´56"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=N90qSkN5kX8
 +|sinopsis=Calcula:
 + 
 +:a) m.c.d. (12, 8)
 +:b) m.c.d. (25, 20)
 +:c) m.c.d. (5, 12)
 +:d) m.c.d. (6, 12)
 + 
 +}}
 +{{Video_enlace_escuela
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=4´48"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=uGnBdlxyVRA&index=2&list=PLw7Z_p6_h3ow7SdhMk2lKYZJE6YzZzRBN
 +|sinopsis=Calcula el m.c.d. (-12, -30) hallando los divisores comunes.
 +}}
 +{{Video_enlace_escuela
 +|titulo1=Ejercicio 3
 +|duracion=6´13"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=Bbyu3FZW6Hs&index=3&list=PLw7Z_p6_h3ow7SdhMk2lKYZJE6YzZzRBN
 +|sinopsis=Calcula hallando los divisores comunes:
 + 
 +:a) m.c.d. (6, -12)
 + 
 +:b) m.c.d. (-12, -15)
 + 
 +:c) m.c.d. (-6, 8)
 + 
 +:d) m.c.d. (0, -18)
 + 
 +:e) m.c.d. (6, 4)
 + 
 +:f) m.c.d. (8, -72)
 +}}
 + 
 +{{Video_enlace_escuela
 +|titulo1=Ejercicio 4
 +|duracion=6´15"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=kPBL4YPUWYM&list=PLw7Z_p6_h3ow7SdhMk2lKYZJE6YzZzRBN&index=5
 +|sinopsis=Calcula hallando los divisores comunes:
 + 
 +:a) m.c.d.(4, 16, 14)
 +:b) m.c.d.(9, 12, 18)
 +:c) m.c.d.(8, 16, 28)
 +:d) m.c.d.(21, 27, 30)
 +}}
 +}}
 +{{Actividades|titulo=Máximo común divisor (método artesanal)|enunciado=
 +{{AI_cidead
 +|titulo1=Actividad 1
 +|descripcion=Actividad en la que podrás obtener el m.c.d. de dos números por el método artesanal.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena2/1quincena2_contenidos_3c.htm
 +}}
 +{{AI_enlace
 +|descripcion=Actividad en la que podrás ver como se obtiene el m.c.d de dos números mediante el procedimiento artesanal.
 +|url1=http://www3.gobiernodecanarias.org/medusa/eltanquematematico/todo_mate/multiplosydivisores/mcd/mcd.swf
 +|titulo1=Actividad 2
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 +Pero el método artesanal no es adecuado para números grandes pues requeriría muchos cálculos. Hay otro método basado en la factorización que es mucho más rápido. Lo llamaremos "método óptimo".
 +{{p}}
 +Sabemos que los divisores de un número son una combinación de algunos de sus factores primos. Por tanto, si queremos un divisor común a varios números, tendremos que tomar factores primos comunes a todos ellos. Si además queremos que sea el mayor de todos los divisores comunes, tendremos que tomar todos los factores que sean comunes.
 +{{p}}
 +{{Teorema_sin_demo|titulo=Procedimiento óptimo
|enunciado=Para obtener el m.c.d. de dos o más números se siguen los siguientes pasos: |enunciado=Para obtener el m.c.d. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:
Línea 6: Línea 102:
#Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d. #Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Nota|titulo=Observación:|texto=En el caso de que no haya ningún factor común, en realidad nos estamos olvidando del 1, que aunque no es primo, es factor de cualquier número entero. Por tanto, si no hay coincidencia de ningún factor primo, el máximo común divisor es 1.
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 11: Línea 110:
|titulo=Ejemplo: |titulo=Ejemplo:
|contenido= |contenido=
-:Calcula el m.c.d.(24,60).+'''Calcula el m.c.d.(24,60) por el método óptimo'''
-----------+
-:'''Primer método:'''+
-:''Divisores de 24:''{{b4}}1, 2, 3, 4, 6, 8, '''12''', 24+:Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:<br>
-:''Divisores de 60:''{{b4}}1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, '''12''', 15, 20, 30, 60+
-:m.c.d.(24,60)= 12+<center><math>24=2^3 \cdot 3 \qquad 60=2^2 \cdot 3 \cdot 5</math></center>
----------+
-:'''Segundo método:'''+
-:Descomponemos 24 y 60 en sus factores primos:<br> 
-<center><math>24=2^3 \cdot 3\qquad60=2^2 \cdot 3 \cdot 5</math></center> 
:Multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente: :Multiplicando los factores comunes elevados al menor exponente:
 +
<center><math>m.c.d.(24,60)= 2^2 \cdot 3=12</math></center> <center><math>m.c.d.(24,60)= 2^2 \cdot 3=12</math></center>
 +
 +----
 +'''Calcula el m.c.d.(17,19) por el método óptimo'''
 +
 +:Descomponemos 17 y 19 en sus factores primos (incluimos al 1 aunque no sea primo):<br>
 +
 +<center><math>17=17 \cdot 1 \qquad 19=19 \cdot 1</math></center>
 +
 +:El único factor común es 1:
 +
 +<center><math>m.c.d.(17,19)= 1\;</math></center>
 +
}} }}
{{p}} {{p}}
Línea 43: Línea 148:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=lxzhimu7ecs |url1=https://www.youtube.com/watch?v=lxzhimu7ecs
|sinopsis=Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el máximo común divisor de dos o tres números. |sinopsis=Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el máximo común divisor de dos o tres números.
 +}}
 +{{Video_enlace_sensei
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=14´36"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JtTi8kXeWcI
 +|sinopsis=Concepto y cálculo del máximo común divisor de dos o más números.
 +}}
 +{{Video_enlace_escuela
 +|titulo1=Tutorial 4
 +|duracion=3´34"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2LvPEYDx5MA&index=1&list=PLw7Z_p6_h3ow7SdhMk2lKYZJE6YzZzRBN
 +|sinopsis=Concepto de máximo común divisor. Ejemplo.
 +}}
 +{{Video_enlace_mundoprimaria
 +|titulo1=Tutorial 5
 +|duracion=2´04"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=2-NNACxvcIk
 +|sinopsis=Tutorial que explica qué es y cómo se calcula el máximo común divisor de dos números. Desarrolla un ejemplo en el que calcula el m.c.d. mediante el método artesanal.
}} }}
---- ----
Línea 92: Línea 215:
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=vZGIG_X2u_Y |url1=https://www.youtube.com/watch?v=vZGIG_X2u_Y
}} }}
-{{Video_enlace_educatina+{{Video_enlace_profealex
|titulo1=Ejercicio 6 |titulo1=Ejercicio 6
 +|duracion=9´06"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=JoHfq8hswmY
 +|sinopsis=Calcula:
 +:a) m.c.d.(15, 20)
 +:b) m.c.d.(12, 18)
 +:c) m.c.d.(16, 20, 24)
 +:d) m.c.d.(18, 27)
 +}}
 +{{Video_enlace_math2me
 +|titulo1=Ejercicio 7
 +|duracion=8´10"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=WHUQSkaVXd4
 +|sinopsis=Calcula:
 +:a) m.c.d.(8, 20)
 +:b) m.c.d.(96, 160, 24)
 +}}
 +{{Video_enlace_educatina
 +|titulo1=Ejercicio 8
|duracion=6'17" |duracion=6'17"
|sinopsis=Calcula: m.c.d.(48, 36, 84). |sinopsis=Calcula: m.c.d.(48, 36, 84).
Línea 100: Línea 241:
}} }}
{{Video_enlace_educatina {{Video_enlace_educatina
-|titulo1=Ejercicio 7+|titulo1=Ejercicio 9
|duracion=4'46" |duracion=4'46"
|sinopsis=Calcula: m.c.d.(72, 108, 60). |sinopsis=Calcula: m.c.d.(72, 108, 60).
|url1=https://www.youtube.com/watch?v=uPzKLf0tW_Q |url1=https://www.youtube.com/watch?v=uPzKLf0tW_Q
 +}}
 +{{Video_enlace_escuela
 +|titulo1=Ejercicio 10
 +|duracion=2´09"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=TEWq3SFfqro&index=4&list=PLw7Z_p6_h3ow7SdhMk2lKYZJE6YzZzRBN
 +|sinopsis=3) Escribe los divisores de 4 y los divisores de 8.
 +
 +:a) ¿Es 4 divisor de 8?
 +:b) ¿Son todos los divisores de 4 también divisores de 8?
 +:c) ¿Es 8 divisor de 4?
 +:d) ¿Son todos los divisores de 8 también divisores de 4?
 +:e) ¿Cuál es el m.c.d. de 4 y 8?
 +}}
 +
 +{{Video_enlace_khan
 +|titulo1=Ejercicio 11
 +|duracion=10´37"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=g6a7sMRSzMk
 +|sinopsis=Calcula:
 +
 +:a) m.c.d (16, 8)
 +:b) m.c.d (40, 45)
 +:c) m.c.d (9, 6)
 +:d) m.c.d.(105, 30)
 +
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
-{{AI_vitutor+{{Actividades|titulo=Máximo común divisor|enunciado=
 +{{AI_cidead
 +|titulo1=Actividad 1
 +|descripcion=#Actividad en la que podrás obtener el m.c.d. de dos números por descomposición factorial.
 +#Actividad en la que deberás obtener el m.c.d. de dos números por descomposición factorial.
 +|url1=http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/1esomatematicas/1quincena2/1quincena2_contenidos_3d.htm
 +}}
 +{{AI_melide
 +|descripcion=Actividades sobre el máximo común divisor.
 +|url1=http://maralboran.org/web_ma/Melide/Divisibilidad/Maximo_comundivisor.html
 +|titulo1=Actividad 2
 +}}
 +{{AI_enlace
 +|descripcion=Juego para practicar el m.c.d.
 +|url1=http://www.primaria.librosvivos.net/archivosCMS/3/3/16/usuarios/103294/9/6EP_Mate_cas_ud4_Maximo_221/frame_prim.swf
 +|titulo1=Actividad 3
 +}}
 +----
 +{{AI_Khan
|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.d. |descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.d.
 +|url1=http://es.khanacademy.org/math/pre-algebra/pre-algebra-factors-multiples/pre-algebra-greatest-common-divisor/e/greatest_common_divisor
 +|titulo1=Autoevaluación 1
 +}}
 +{{AI_enlace
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.d.
 +|url1=http://scratch.mit.edu/projects/embed/79633734/
 +|titulo1=Autoevaluación 2
 +}}
 +{{AI_vitutor
 +|descripcion=Ejercicios de autoevaluación sobre el m.c.d. (Nivel avanzado)
|url1=http://www.vitutor.com/di/di/a_7e.html |url1=http://www.vitutor.com/di/di/a_7e.html
-|titulo1=Autoevaluación: ''Máximo común divisor''+|titulo1=Autoevaluación 3 (Nivel avanzado)
}} }}
 +}}
 +{{p}}
 +{{wolfram desplegable|titulo=Máximo común divisor|contenido=
 +{{wolfram
 +|titulo=Actividad: ''Máximo común divisor''
 +|cuerpo=
 +{{ejercicio_cuerpo
 +|enunciado=
 +
 +:a) Halla el m.c.d.(30,150,700)
 +
 +{{p}}
 +|sol=
 +Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
 +
 +:a) {{consulta|texto=gcd(30, 150, 700)}}
 +
 +{{widget generico}}
 +}}
 +}}
 +}}
 +{{p}}

Revisión actual

Ya sabemos encontrar todos los divisores de un número. Ahora nos interesa hallar un divisor en concreto. Queremos, de entre todos los divisores comunes a varios enteros, el mayor de ellos.

Y, ¿por qué el mayor?, ¿por qué un divisor común a varios números?, ¿para qué sirve esto?. Lo cierto es que el cálculo del máximo común divisor será muy útil para resolver problemas de divisibilidad en los que intervengan varios números. De ahí lo de común y lo de divisor. ¿Y por qué el mayor y no, por ejemplo, el menor? Piensa detenidamente... ¿Qué número es divisor de cualquier entero?. Efectivamente, el 1. ¿Crees que hay divisores menores que 1?

Una primera solución para encontrar el máximo común divisor de varios números podría ser calcular los divisores de cada uno de ellos y comprobar cuál es el mayor de los divisores comunes. A este método lo llamaremos "método artesanal".

ejercicio

Procedimiento artesanal


Para calcular el máximo común divisor de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Averiguaremos todos los divisores de dichos números.
  2. De los divisores comunes (los que se repitan en todos) cogeremos el mayor.

Pero el método artesanal no es adecuado para números grandes pues requeriría muchos cálculos. Hay otro método basado en la factorización que es mucho más rápido. Lo llamaremos "método óptimo".

Sabemos que los divisores de un número son una combinación de algunos de sus factores primos. Por tanto, si queremos un divisor común a varios números, tendremos que tomar factores primos comunes a todos ellos. Si además queremos que sea el mayor de todos los divisores comunes, tendremos que tomar todos los factores que sean comunes.

ejercicio

Procedimiento óptimo


Para obtener el m.c.d. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Se descomponen los números en factores primos.
  2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
  3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.



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