Plantilla:Cálculo del máximo común divisor

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Ya sabemos encontrar todos los divisores de un número. Ahora nos interesa hallar un divisor en concreto. Queremos, de entre todos los divisores comunes a varios enteros, el mayor de ellos.

Y, ¿por qué el mayor?, ¿por qué un divisor común a varios números?, ¿para qué sirve esto?. Lo cierto es que el cálculo del máximo común divisor será muy útil para resolver problemas de divisibilidad en los que intervengan varios números. De ahí lo de común y lo de divisor. ¿Y por qué el mayor y no, por ejemplo, el menor? Piensa detenidamente... ¿Qué número es divisor de cualquier entero?. Efectivamente, el 1. ¿Crees que hay divisores menores que 1?

Una primera solución para encontrar el máximo común divisor de varios números podría ser calcular los divisores de cada uno de ellos y comprobar cuál es el mayor de los divisores comunes. A este método lo llamaremos "método artesanal".

ejercicio

Procedimiento artesanal


Para calcular el máximo común divisor de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Averiguaremos todos los divisores de dichos números.
  2. De los divisores comunes (los que se repitan en todos) cogeremos el mayor.

Pero el método artesanal no es adecuado para números grandes pues requeriría muchos cálculos. Hay otro método basado en la factorización que es mucho más rápido. Lo llamaremos "método óptimo".

Sabemos que los divisores de un número son una combinación de algunos de sus factores primos. Por tanto, si queremos un divisor común a varios números, tendremos que tomar factores primos comunes a todos ellos. Si además queremos que sea el mayor de todos los divisores comunes, tendremos que tomar todos los factores que sean comunes.

ejercicio

Procedimiento óptimo


Para obtener el m.c.d. de dos o más números se siguen los siguientes pasos:

  1. Se descomponen los números en factores primos.
  2. Se toman los factores comunes con menor exponente.
  3. Se multiplican dichos factores y el resultado obtenido es el m.c.d.



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