Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)

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Revisión de 09:49 14 abr 2009

Tasa de variación media

Para medir el crecimiento de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M), que se define como el cociente de la variación de y entre la variación de x:

$T.V.M_f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Si llamamos $b=a+h \quad (h \ne 0)$ , la expresión anterior queda como sigue:

$T.V.M_f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Proposición

La T.V.M. de f en el intervalo [a,b] es igual a la pendiente de la recta que pasa por los puntos de abcisas a y b.

Demostración:

Observa el dibujo de la derecha.

Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:

$T.V.M_f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m$

donde $m\,$ es la pendiente de la recta r.

Tasa de variación de una función (11'56") Sinopsis:

Definición de T.V.M. de f en e intervalo [a,a+h]. Interpretación geométrica. Ejemplos

Actividad Interactiva: Tasa de variación media

Actividad 1: En esta escena calcularas la tasa de variación de una función en distintos intervalos.

Actividad:

En la siguiente escena tienes representada una función (en blanco).

Comprueba que su T.V.M. en el intervalo [10,17] vale 1.
Calcula la pendiente del la recta secante AB (en celeste) y verás que vale lo mismo que la T.V.M.
Calcula cuanto vale la T.V.M. en los intevalos [10,13] y [18,21].
Aunque los intervalos son de la misma longitud, sus tasas de variación media difieren. ¿Qué significado tiene esto en relación al crecimiento de la función en cada intervalo?
Calcula ahora la T.V.M. en el intervalo [17,18]. ¿Cómo es el crecimiento de la función en ese intervalo?

Observa como la T.V.M. y la pendiente de la recta secante (en celeste), en cada intervalo valen lo mismo.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejemplos: Tasa de variación media

Ejemplos de cálculo de la tasa de variación de una función (10´20") Sinopsis:

Cálculo de la tasa de variación de las funciones: $y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x$ .

Tasa de variación de una recta (6'50") Sinopsis:

Cálculo de la tasa de variación de la función: $y=ax+b \,$ .

Tasa de variación de una parábola (7'57") Sinopsis:

Cálculo de la tasa de variación de la función: $y=ax^2+bx+c \,$ .

La palabra rapidez (18'54") Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Crecimiento_de_una_funci%C3%B3n_en_un_intervalo_%281%C2%BABach%29"

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 {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=:La T.V.M. de f en el intervalo [a,b] es igual a la pendiente de la recta que pasa por los puntos de abcisas '''a''' y '''b'''.
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+|demo=[[Imagen:tvm1.gif|right]]Observa el dibujo de la derecha.
-<center><math>T.V.M_f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m</math> (pendiente de r)</center>
+Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:
+<center><math>T.V.M_f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m</math></center>
+donde <math>m\,</math> es la pendiente de la recta '''r'''.
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