Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 08:17 22 dic 2016

Tasa de variación media

Para medir el crecimiento de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.), que se define como el cociente de la variación de y entre la variación de x:

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Si llamamos $b=a+h \quad (h \ne 0)$ , la expresión anterior queda como sigue:

$T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Proposición

La T.V.M. de una función en un intervalo [a,b] es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas a y b.

Demostración:

Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m$

donde $m\,$ es la pendiente de la recta r.

Tasa de variación de una función (11'56") Sinopsis:

Definición de T.V.M. de f en el intervalo [a,a+h]. Interpretación geométrica. Ejemplos

La palabra rapidez (18'54") Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Actividad Interactiva: Tasa de variación media

Actividad 1: En esta escena calcularas la tasa de variación de una función en distintos intervalos.

Actividad:

En la siguiente escena tienes representada una función (en blanco).

Comprueba que su T.V.M. en el intervalo [10,17] vale 1.
Calcula cuanto vale la T.V.M. en los intevalos [10,13] y [18,21].
Aunque los intervalos anteriores son de la misma longitud, sus tasas de variación media difieren. ¿Qué significado tiene esto en relación al crecimiento de la función en cada intervalo?
Calcula ahora la T.V.M. en el intervalo [17,18]. ¿Cómo es el crecimiento de la función en ese intervalo?

Observa como la T.V.M. y la pendiente de la recta secante (en celeste), en cada intervalo valen lo mismo.

Click aquí si no se ve bien la escena

Ejemplos: Tasa de variación media

Dos ejercicios (Tasa de cambio) (10´20") Sinopsis:

En este vídeo jugamos con el concepto de "tasa de cambio" de una función en un intervalo.

Dicho concepto tendrá protagonismo estelar cuando hablemos de la "derivada" de una función en un punto.

Cálculo de la tasa de variación de las funciones: $y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x$ .

Tasa de variación de una recta (6'50") Sinopsis:

Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h.

Si f(x) = a·x + b (o sea, la gráfica de "f" es una recta), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es "a".

Tasa de variación de una parábola (7'57") Sinopsis:

Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h.

Si f(x) = a·x2+b·x+c (o sea, la gráfica de "f" es una parábola de eje vertical), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es a·h+2·a·x+b. En el vídeo, además, interpretamos este resultado con un ejemplo de la vida cotidiana.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Crecimiento_de_una_funci%C3%B3n_en_un_intervalo_%281%C2%BABach%29"

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+Si f(x) = a·x2+b·x+c (o sea, la gráfica de "f" es una parábola de eje vertical), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es a·h+2·a·x+b. En el vídeo, además, interpretamos este resultado con un ejemplo de la vida cotidiana.
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