Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)
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| |celda1={{Caja_Amarilla|texto=Para medir el crecimiento de una función en un intervalo '''[a,b]''', se utiliza la '''tasa de variación media (T.V.M.)''', que se define como el cociente de la variación de '''y''' entre la variación de '''x''': | |celda1={{Caja_Amarilla|texto=Para medir el crecimiento de una función en un intervalo '''[a,b]''', se utiliza la '''tasa de variación media (T.V.M.)''', que se define como el cociente de la variación de '''y''' entre la variación de '''x''': | ||
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| {{Caja|contenido=<math>T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>}} | {{Caja|contenido=<math>T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>}} | ||
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| Si llamamos <math>b=a+h \quad (h \ne 0)</math>, la expresión anterior queda como sigue: | Si llamamos <math>b=a+h \quad (h \ne 0)</math>, la expresión anterior queda como sigue: | ||
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| {{Caja|contenido=<math>T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>}} | {{Caja|contenido=<math>T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>}} | ||
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Revisión de 08:22 22 dic 2016
Tasa de variación media
Para medir el crecimiento de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.), que se define como el cociente de la variación de y entre la variación de x:
Si llamamos
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![T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}](/wikipedia/images/math/8/9/c/89c85ce438b13f83f07e3480026d5be8.png)
, la expresión anterior queda como sigue:
![T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}](/wikipedia/images/math/c/8/1/c81e647a1a3e3e683857d6714eed390f.png)
Proposición
- La T.V.M. de una función en un intervalo [a,b] es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas a y b.
| Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:
![T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m](/wikipedia/images/math/6/b/7/6b761a6a89fc5990f82ffd9ae6ec3b0e.png)
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es la pendiente de la recta r.
Tasa de variación de una función (11'56") Sinopsis: - Definición de T.V.M. de f en el intervalo [a,a+h]. Interpretación geométrica. Ejemplos
La palabra rapidez (18'54") Sinopsis: Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.
 Actividad Interactiva: Tasa de variación media
Actividad 1: En esta escena calcularas la tasa de variación de una función en distintos intervalos.
Actividad: En la siguiente escena tienes representada una función (en blanco).
Observa como la T.V.M. y la pendiente de la recta secante (en celeste), en cada intervalo valen lo mismo. |
Ejemplos: Tasa de variación media
Dos ejercicios (Tasa de cambio) (10´20") Sinopsis: - En este vídeo jugamos con el concepto de "tasa de cambio" de una función en un intervalo.
Dicho concepto tendrá protagonismo estelar cuando hablemos de la "derivada" de una función en un punto.
- Cálculo de la tasa de variación de las funciones:
.
Tasa de variación de una recta (6'50") Sinopsis: Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h.
Si f(x) = a·x + b (o sea, la gráfica de "f" es una recta), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es "a".
Tasa de variación de una parábola (7'57") Sinopsis: Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h.
Si f(x) = a·x2+b·x+c (o sea, la gráfica de "f" es una parábola de eje vertical), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es a·h+2·a·x+b. En el vídeo, además, interpretamos este resultado con un ejemplo de la vida cotidiana.
