Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 11:20 26 dic 2017

Tasa de variación media

Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo $[a, b]$ , se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.), que se define como el cociente de la variación de $y$ entre la variación de $x$ :

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Si hacemos $b=a+h \quad (h \ne 0)$ , la expresión anterior queda como sigue:

$T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Ejemplo:

Sea $f(x)= 5x-x^2\;$ , su T.V.M. en el intervalo [1,2] es:

$T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2$

Proposición

La T.V.M. de una función en un intervalo $[a,b]\;$ es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas $a\;$ y $b\;$ .

Demostración:

Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m$

donde $m\,$ es la pendiente de la recta r.

Tasa de variación media

Tutorial 1a (11'56") Sinopsis:

Definición de T.V.M. de f en el intervalo [a,a+h].
Interpretación geométrica.
Ejemplos

Tutorial 1b: La palabra rapidez (18'54") Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Tutorial 1c: Tasa de variación media de una recta (6'50") Sinopsis:

Tasa de variación media de una recta

Tutorial 1d: Tasa de variación media de una parábola (7'57") Sinopsis:

Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.

Ejercicio 1 (2'53") Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de $f (x) = x 2 + 2;$ en [1,4].

Ejercicio 2 (10´20") Sinopsis:

En este vídeo jugamos con el concepto de "tasa de cambio" de una función en un intervalo.

Dicho concepto tendrá protagonismo estelar cuando hablemos de la "derivada" de una función en un punto.

Cálculo de la tasa de variación de las funciones: $y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x$ .

Tasa de variación media Descripción:

En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Crecimiento_de_una_funci%C3%B3n_en_un_intervalo_%281%C2%BABach%29"

 <center><math>T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2</math></center>
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-Si f(x) = a·x2+b·x+c (o sea, la gráfica de "f" es una parábola de eje vertical), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es a·h+2·a·x+b. En el vídeo, además, interpretamos este resultado con un ejemplo de la vida cotidiana.
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