Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)

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Tasa de variación media

Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo $[a, b]$ , se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.) o tasa de cambio, que se define como el cociente de la variación de $y$ entre la variación de $x$ :

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Si hacemos $b=a+h \quad (h \ne 0)$ , la expresión anterior queda como sigue:

$T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Ejemplo:

Sea $f(x)= 5x-x^2\;$ , su T.V.M. en el intervalo [1,2] es:

$T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2$

Proposición

La T.V.M. de una función en un intervalo $[a,b]\;$ es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas $a\;$ y $b\;$ .

Demostración:

Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m$

donde $m\,$ es la pendiente de la recta r.

Tasa de variación media

Tutorial 1 (10'03") Sinopsis:

Definición de tasa de variación media de una función.
Ejemplo a partir de la gráfica de la función.
Ejemplo a partir de la expresión analítica de la función.

Tutorial 2a (11'56") Sinopsis:

Definición de tasa de variación media o tasa de cambio de una función f en el intervalo [a,a+h].
Interpretación geométrica.
Ejemplos

Tutorial 2b: La palabra rapidez (18'54") Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Tutorial 2c: Tasa de variación media de una recta (6'50") Sinopsis:

Tasa de variación media de una recta

Tutorial 2d: Tasa de variación media de una parábola (7'57") Sinopsis:

Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.

Ejercicio 1 (2'53") Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de $f (x) = x 2 + 2;$ en [1,4].

Ejercicio 2 (12'50") Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de:

d (t) = 3 t + 1;

en [0,1] y [1,2].

d (t) = t 2 + 1;

en [0,3] y [2,3].

Ejercicio 3 (2'48") Sinopsis:

A partir de la gráfica, determina el intervalo en el cual la T.V.M. de la función es -4.

Ejercicio 4 (2'34") Sinopsis:

A partir de la tabla, determina la T.V.M. de la función en el intervalo [-5, -2].

Ejercicio 5 (7'27") Sinopsis:

Dada la función $y=\cfrac{1}{8}x^3-x^2\;$ , ¿sobre cuál de los siguientes intervalos tiene T.V.M. igual a 1/2: [-2, 2], [0, 4], [-3, 2], [-4, 1] ?

Ejercicio 9 (10´20") Sinopsis:

Cálcula la T.V.M. de $y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x$ en el intervalo [x, x+h].

Problema 1 (3'46") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una tabla.

Problema 2 (7'48") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una gráfica.

Problema 3 (4'57") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media.

Tasa de variación media

Actividad 1 Descripción:

Tasa de variación media.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.

Autoevaluación 1 Descripción:

Tasa de variación media.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales sobre la tasa de variación media.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Crecimiento_de_una_funci%C3%B3n_en_un_intervalo_%281%C2%BABach%29"

 ==Tasa de variación media==
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-Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:
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-|actividad=En la siguiente escena tienes representada una función (en blanco).
-*Comprueba que su T.V.M. en el intervalo [10,17] vale 1.
-*Calcula la pendiente del la recta secante AB (en celeste) y verás que vale lo mismo que la T.V.M.
-*Calcula cuanto vale la T.V.M. en los intevalos [10,13] y [18,21].
-*Aunque los intervalos son de la misma longitud, sus tasas de variación media difieren. ¿Qué significado tiene esto en relación al crecimiento de la función en cada intervalo?
-*Calcula ahora la T.V.M. en el intervalo [17,18]. ¿Cómo es el crecimiento de la función en ese intervalo?
-Observa como la T.V.M. y la pendiente de la recta secante (en celeste), en cada intervalo valen lo mismo.
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