Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)

De Wikipedia

(Diferencia entre revisiones)

Revisión actual

Tasa de variación media

Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo $[a, b]$ , se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.) o tasa de cambio, que se define como el cociente de la variación de $y$ entre la variación de $x$ :

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Si hacemos $b=a+h \quad (h \ne 0)$ , la expresión anterior queda como sigue:

$T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Ejemplo:

Sea $f(x)= 5x-x^2\;$ , su T.V.M. en el intervalo [1,2] es:

$T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2$

Proposición

La T.V.M. de una función en un intervalo $[a,b]\;$ es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas $a\;$ y $b\;$ .

Demostración:

Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:

$T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m$

donde $m\,$ es la pendiente de la recta r.

Tasa de variación media

Tutorial 1 (10'03") Sinopsis:

Definición de tasa de variación media de una función.
Ejemplo a partir de la gráfica de la función.
Ejemplo a partir de la expresión analítica de la función.

Tutorial 2a (11'56") Sinopsis:

Definición de tasa de variación media o tasa de cambio de una función f en el intervalo [a,a+h].
Interpretación geométrica.
Ejemplos

Tutorial 2b: La palabra rapidez (18'54") Sinopsis:

Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.

Tutorial 2c: Tasa de variación media de una recta (6'50") Sinopsis:

Tasa de variación media de una recta

Tutorial 2d: Tasa de variación media de una parábola (7'57") Sinopsis:

Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.

Ejercicio 1 (2'53") Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de $f (x) = x 2 + 2;$ en [1,4].

Ejercicio 2 (12'50") Sinopsis:

Calcula la T.V.M. de:

d (t) = 3 t + 1;

en [0,1] y [1,2].

d (t) = t 2 + 1;

en [0,3] y [2,3].

Ejercicio 3 (2'48") Sinopsis:

A partir de la gráfica, determina el intervalo en el cual la T.V.M. de la función es -4.

Ejercicio 4 (2'34") Sinopsis:

A partir de la tabla, determina la T.V.M. de la función en el intervalo [-5, -2].

Ejercicio 5 (7'27") Sinopsis:

Dada la función $y=\cfrac{1}{8}x^3-x^2\;$ , ¿sobre cuál de los siguientes intervalos tiene T.V.M. igual a 1/2: [-2, 2], [0, 4], [-3, 2], [-4, 1] ?

Ejercicio 9 (10´20") Sinopsis:

Cálcula la T.V.M. de $y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x$ en el intervalo [x, x+h].

Problema 1 (3'46") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una tabla.

Problema 2 (7'48") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una gráfica.

Problema 3 (4'57") Sinopsis:

Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media.

Tasa de variación media

Actividad 1 Descripción:

Tasa de variación media.

Actividad 2 Descripción:

En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.

Autoevaluación 1 Descripción:

Tasa de variación media.

Autoevaluación 2 Descripción:

Problemas verbales sobre la tasa de variación media.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Crecimiento_de_una_funci%C3%B3n_en_un_intervalo_%281%C2%BABach%29"

 ==Tasa de variación media==
-{{Tabla75|celda2=[[Imagen:tvm2.gif|center]]
+{{Tasa de variación media}}
-|celda1={{Caja_Amarilla|texto=Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo '''[a,b]''', se utiliza la '''tasa de variación media (T.V.M.)''', que se define como el cociente de la variación de '''y''' entre la variación de '''x''':
 {{p}}
-{{Caja|contenido=<math>T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>}}
+{{Videos: Tasa de variación media}}
+{{Actividades: Tasa de variación media}}
 {{p}}
-Si llamamos <math>b=a+h \quad (h \ne 0)</math>, la expresión anterior queda como sigue:
-{{p}}
-{{Caja|contenido=<math>T.V.M._f \,[a,a+h]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}</math>}}
-}}
-{{p}}
-{{Geogebra_enlace
-|descripcion=En esta escena podrás ver calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.
-|enlace=[https://ggbm.at/DRmEWBTJ Tasa de variación media]
-}}
-}}
-{{p}}
-{{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=La T.V.M. de una función en un intervalo <math>[a,b]\;</math> es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas <math>a\;</math> y <math>b\;</math>.
-|demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:tvm1.gif|right]]|celda1=Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos:
-<center><math>T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m</math></center>
-donde <math>m\,</math> es la pendiente de la recta '''r'''.
-}}
-}}
-{{p}}
-{{Video_enlace2
-|titulo1=Tasa de variación de una función
-|duracion=11'56"
-|sinopsis=:Definición de T.V.M. de f en el intervalo [a,a+h]. Interpretación geométrica. Ejemplos
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/18-derivabilidad-de-funciones/03-tasa-de-cambio-razon-incremental-3#.WFuJ3tLhDcs
-}}
-{{Video_enlace2
-|titulo1=La palabra rapidez
-|duracion=18'54"
-|sinopsis=Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/18-derivabilidad-de-funciones/04-la-palabra-rapidez-3#.WFuJVdLhDcs
-}}
-{{p}}
-{{ejemplo2|titulo=Ejemplos: ''Tasa de variación media''
-|enunciado=
-{{Video_enlace2
-|titulo1=Dos ejercicios (Tasa de cambio)
-|duracion=10´20"
-|sinopsis=
-*En este vídeo jugamos con el concepto de "tasa de cambio" de una función en un intervalo.
-Dicho concepto tendrá protagonismo estelar cuando hablemos de la "derivada" de una función en un punto.
-*Cálculo de la tasa de variación de las funciones: <math>y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x</math>.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real/1301-dos-ejercicios-tasa-de-cambio-3
-}}
-{{Video_enlace2
-|titulo1=Tasa de variación de una recta
-|duracion=6'50"
-|sinopsis=Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h.
-Si f(x) = a·x + b (o sea, la gráfica de "f" es una recta), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es "a".
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/26-tasa-de-cambio-de-una-recta-3#.WFuKxdLhDcs
-}}
-{{Video_enlace2
-|titulo1=Tasa de variación de una parábola
-|duracion=7'57"
-|sinopsis=Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h.
-Si f(x) = a·x2+b·x+c (o sea, la gráfica de "f" es una parábola de eje vertical), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es a·h+2·a·x+b. En el vídeo, además, interpretamos este resultado con un ejemplo de la vida cotidiana.
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/28-tasa-de-cambio-de-una-parabola-3#.WFuLB9LhDcs
-}}
-}}

Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)

De Wikipedia

Revisión actual

Tasa de variación media

Vistas

Herramientas personales

Menú

Buscar

Herramientas