Plantilla:Crecimiento de una función en un intervalo (1ºBach)
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- | {{Tabla75|celda2=[[Imagen:tvm2.gif|center]] | + | {{Tasa de variación media}} |
- | |celda1={{Caja_Amarilla|texto=Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo <math>[a,b]</math>, se utiliza la '''tasa de variación media (T.V.M.)''', que se define como el cociente de la variación de <math>y</math> entre la variación de <math>x</math>: | + | |
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- | {{Caja|contenido=<math>T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>}} | + | {{Videos: Tasa de variación media}} |
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- | Si hacemos <math>b=a+h \quad (h \ne 0)</math>, la expresión anterior queda como sigue: | ||
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- | Sea <math>f(x)= 5x-x^2\;</math>, su T.V.M. en el intervalo [1,2] es: | ||
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- | <center><math>T.V.M._f \,[1,2]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=\cfrac{f(2)-f(1)}{2-1}=\cfrac{6-4}{1}=2</math></center> | ||
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- | |descripcion=En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras. | ||
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- | |titulo1=Ejemplo: Tasa de variación media. | ||
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- | {{Teorema|titulo=Proposición|enunciado=La T.V.M. de una función en un intervalo <math>[a,b]\;</math> es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas <math>a\;</math> y <math>b\;</math>. | ||
- | |demo={{Tabla75|celda2=[[Imagen:tvm1.gif|right]]|celda1=Observa el dibujo de la derecha. Por la definición de T.V.M. y teniendo en cuenta que la tangente de un ángulo es el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo, tenemos: | ||
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- | <center><math>T.V.M._f \,[a,b]=\cfrac{\mathcal{4}y}{\mathcal{4}x}=tg\, \alpha=m</math></center> | ||
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- | donde <math>m\,</math> es la pendiente de la recta '''r'''. | ||
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- | |titulo1=Tasa de variación de una función | ||
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- | |sinopsis=:Definición de T.V.M. de f en el intervalo [a,a+h]. Interpretación geométrica. Ejemplos | ||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/18-derivabilidad-de-funciones/03-tasa-de-cambio-razon-incremental-3#.WFuJ3tLhDcs | ||
- | }} | ||
- | {{Video_enlace2 | ||
- | |titulo1=La palabra rapidez | ||
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- | |sinopsis=Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media. | ||
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- | {{ejemplo2|titulo=Ejemplos: ''Tasa de variación media'' | ||
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- | |titulo1=Dos ejercicios (Tasa de cambio) | ||
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- | |sinopsis= | ||
- | *En este vídeo jugamos con el concepto de "tasa de cambio" de una función en un intervalo. | ||
- | Dicho concepto tendrá protagonismo estelar cuando hablemos de la "derivada" de una función en un punto. | ||
- | *Cálculo de la tasa de variación de las funciones: <math>y=x^2 \, , \ y= \frac{1}{x} \, , \ y= 2^x</math>. | ||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real/1301-dos-ejercicios-tasa-de-cambio-3 | ||
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- | |titulo1=Tasa de variación de una recta | ||
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- | |sinopsis=Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h. | ||
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- | Si f(x) = a·x + b (o sea, la gráfica de "f" es una recta), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es "a". | ||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/26-tasa-de-cambio-de-una-recta-3#.WFuKxdLhDcs | ||
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- | |titulo1=Tasa de variación de una parábola | ||
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- | |sinopsis=Como sabe todo el mundo, la tasa de cambio de la función "f" cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es (f(x+h) - f(x)/h. | ||
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- | Si f(x) = a·x2+b·x+c (o sea, la gráfica de "f" es una parábola de eje vertical), la tasa de cambio cuando la variable independiente varía desde "x" a "x+h" es a·h+2·a·x+b. En el vídeo, además, interpretamos este resultado con un ejemplo de la vida cotidiana. | ||
- | |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/28-tasa-de-cambio-de-una-parabola-3#.WFuLB9LhDcs | ||
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Revisión actual
Tasa de variación media
Para medir el crecimiento medio de una función en un intervalo [a,b], se utiliza la tasa de variación media (T.V.M.) o tasa de cambio, que se define como el cociente de la variación de y entre la variación de x:
Si hacemos , la expresión anterior queda como sigue:
Proposición La T.V.M. de una función en un intervalo es igual a la pendiente de la recta secante a la gráfica de la función en puntos de abcisas y . |
- Definición de tasa de variación media de una función.
- Ejemplo a partir de la gráfica de la función.
- Ejemplo a partir de la expresión analítica de la función.
- Definición de tasa de variación media o tasa de cambio de una función f en el intervalo [a,a+h].
- Interpretación geométrica.
- Ejemplos
Algunos ejemplos que relacionan el concepto de tasa de variación media con el de velocidad media.
Tasa de variación media de una recta
Tasa de variación media de una parábola. Interpretación con un ejemplo de la vida cotidiana.
Calcula la T.V.M. de f(x) = x2 + 2; en [1,4].
Calcula la T.V.M. de:
- a) d(t) = 3t + 1; en [0,1] y [1,2].
- b) d(t) = t2 + 1; en [0,3] y [2,3].
A partir de la gráfica, determina el intervalo en el cual la T.V.M. de la función es -4.
A partir de la tabla, determina la T.V.M. de la función en el intervalo [-5, -2].
Dada la función , ¿sobre cuál de los siguientes intervalos tiene T.V.M. igual a 1/2: [-2, 2], [0, 4], [-3, 2], [-4, 1] ?
Cálcula la T.V.M. de en el intervalo [x, x+h].
Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una tabla.
Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media a partir de una gráfica.
Problema sobre el cálculo de la tasa de variación media.
Tasa de variación media.
En esta escena podrás calcular la T.V.M. de la función que tú quieras.
Tasa de variación media.
Problemas verbales sobre la tasa de variación media.