Plantilla:Definición de función (1ººBach)

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Tabla de contenidos

Concepto de función

Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación o correspondencia establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

  • Si llamamos f\; a la función entre A y B, ésta podemos expresarla simbólicamente:

f: A \rightarrow B

  • Al conjunto A se le denomina conjunto inicial y al B conjunto final..
  • Sea x \in A\;, al elemento de B que se corresponda con x\; lo representaremos por f(x)\; y se leerá "imagen de x según f ". (Notación introducida por Euler en 1734)

Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En este curso estudiaremos funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (conjunto final) de variable real (conjunto inicial), f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}.

Función real de variable real

Una función real de variable real, f\;, es una correspondencia entre números reales que asocia a cada valor de la variable independiente x\; un único valor de la variable dependiente y\;. En tal caso decimos que "y\; es función de x\;" y lo representamos por y=f(x)\;.

Simbólicamente:

\begin{matrix} f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \ \qquad \quad  \\ \quad \ x & \rightarrow & y=f(x) \end{matrix}

Reglas fundamentales

En el estudio de una función (dominio, límites, continuidad, etc.) hay una serie de "reglas sagradas" que hay que tener muy presentes:

  • Prohibido dividir por cero.
  • Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
  • El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

Signo de una función

El estudio del signo de una función va a ser útil en la representación gráfica de funciones y en el estudio del dominio de funciones.

Dominio e imagen de una función

  • Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente x\;, se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por D_f\; ó Dom_f\;
  • La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y\;. Lo representaremos por Im_f\; o R_f\;.

Razones para restringir el dominio de una función:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; que incumplan las quie hemos llamdo "reglas sagradas" del Cálculo. (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos, logaritmos de valores no positivos).
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos).
  • Por voluntad de quien propone la función.

ejercicio

Ejemplo: Dominio de definición de una función


Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) y=ln\, (x^2-4)\;
e) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)

Simetrías de una función

  • Una función es par si cumple que: f(x)=f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f. En tal caso la gráfica es simétrica respecto del eje Y.
  • Una función es impar si cumple que: f(x)=-f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f. En tal caso la gráfica es simétrica respecto del origen.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Concepto de función y de dominio de una función


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