Plantilla:Definición de función (1ººBach)

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(Concepto de función)
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<center><math> f: A \rightarrow B </math></center> <center><math> f: A \rightarrow B </math></center>
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-*Al conjunto A se le denomina '''conjunto inicial''' y al B '''conjunto final'''..+*Al conjunto A se le denomina '''dominio''' y al B '''codominio'''.
 +*A un objeto o valor genérico del dominio A se le denomina '''variable independiente'''; y a un objeto genérico del codominio B, '''variable dependiente'''.
*Sea <math>x \in A\;</math>, al elemento de B que se corresponda con <math>x\;</math> lo representaremos por <math>f(x)\;</math> y se leerá "''imagen de x según f'' ". (Notación introducida por [[Euler]] en 1734) *Sea <math>x \in A\;</math>, al elemento de B que se corresponda con <math>x\;</math> lo representaremos por <math>f(x)\;</math> y se leerá "''imagen de x según f'' ". (Notación introducida por [[Euler]] en 1734)
}} }}
{{p}} {{p}}
-Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En este curso estudiaremos funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (conjunto final)+{{Videotutoriales|titulo=Concepto de función|enunciado=
-de variable real (conjunto inicial), <math>f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}</math>.+{{Video_enlace_clasematicas
 +|titulo1=Tutorial 1
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 +|sinopsis=*Concepto de función.
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 +{{Video_enlace_profealex
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 +*Concepto de función.
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 +}}
 +{{Video_enlace_matemovil
 +|titulo1=Tutorial 3
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 +|sinopsis=*Definición de función.
 +*Dominio e imagen (o rango).
 +*Distintas formas de representar una función.
 +*Ejercicios resueltos.
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 +}}
 +{{p}}
 +Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En este curso estudiaremos funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (el conjunto final es un subconjunto de los números reales) de variable real (el conjunto origen es un subconjunto de los números reales).
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==Función real de variable real== ==Función real de variable real==
{{Caja_Amarilla|texto= {{Caja_Amarilla|texto=
-Una '''función real de variable real''', <math>f\;</math>, es una [[correspondencia]] entre números reales que asocia a cada valor de la '''variable independiente''' <math>x\;</math> un único valor de la '''variable dependiente''' <math>y\;.</math> En tal caso decimos que "<math>y\;</math> '''es función de''' <math>x\;</math>" y lo representamos por <math>y=f(x)\;</math>.+Una '''función real de variable real''', <math>f\;</math>, es una [[correspondencia]] entre números reales que asocia a cada elemento <math>x\;</math> de un determinado subconjunto de números reales, <math>Dom\;</math>, llamado '''dominio''', un único número real <math>y\;</math>. En tal caso decimos que "<math>y\;</math> '''es función de''' <math>x\;</math>" y lo representamos por <math>y=f(x)\;</math>.
Simbólicamente: Simbólicamente:
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\begin{matrix} \begin{matrix}
-f \colon \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \ \qquad \quad +f \colon Dom \subset \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \ \qquad \quad
\\ \\
\quad \ x & \rightarrow & y=f(x) \quad \ x & \rightarrow & y=f(x)
\end{matrix} \end{matrix}
</math></center> </math></center>
 +
 +*A <math>x\;</math> se le llama la '''variable independiente''' y a <math>y\;</math> la '''variable dependiente'''.
}} }}
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-{{Video_enlace2+{{Video_enlace_fonemato
|titulo1=Función real de variable real |titulo1=Función real de variable real
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|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/13-funciones-reales-de-variable-real-5 |url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/13-funciones-reales-de-variable-real-5
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-{{Video_enlace2 
-|titulo1=Distintas notaciones de función 
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-|sinopsis=Explicación de la notación <math>y=f(x)\;</math>. Ejemplos. 
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0116.htm 
-}} 
-{{Video_enlace2 
-|titulo1=Funciones algebraicas y trascendentes 
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-|sinopsis= 
-*Definición de función algebraica y de función trascendente. Ejemplos. 
-|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/31-funciones-algebraicas-y-trascendentes-4 
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-===Gráfica de una función===+{{Video_enlace_fonemato
-{{Video_enlace2+
|titulo1=Gráfica de una función |titulo1=Gráfica de una función
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}} }}
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-{{AI2|titulo=Actividades Interactivas: ''Funciones''|cuerpo=+{{geogebra: averigua si es funcion}}
-{{ai_cuerpo+{{p}}
-|enunciado=1. Determina si son o no son funciones las siguientes gráficas.+ 
-|actividad=+==Operaciones con funciones==
-Una función es una relación entre dos variables numéricas, habitualmente las denominamos <math>x\;</math> (variable independiente) e <math>y\;</math> (variable dependiente); Se le llama variable dependiente porque su valor depende del valor de la otra que llamamos independiente.+{{Videotutoriales|titulo=Operaciones con funciones|enunciado=
-Pero además, para que una relación sea función, a cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente, no le pueden corresponder dos o más valores.+{{Video_enlace_clasematicas
 +|titulo1=Tutorial 1 (Operaciones básicas)
 +|duracion=18'15"
 +|sinopsis=Tutorial dedicado a las operaciones básicas con funciones: producto por constante (k·f)(x), suma y resta (f+g)(x), producto y división (f·g)(x).
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=bX6F6qWeUbc&index=17&list=PLZNmE9BEzVIkfJ32AmaQoob2npxScGpo3
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=4'03"
 +|sinopsis=
 +*Distintas operaciones que se pueden realizar con funciones. Ejemplos.
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/18-operaciones-con-funciones-5
 +}}
 +}}
 +{{p}}
 + 
 +==Reglas fundamentales==
 +En el estudio de una función (dominio, límites, continuidad, etc.) hay una serie de "reglas sagradas" que hay que tener muy presentes:
 +{{p}}
 +{{Caja_gris|texto=
 +*Prohibido dividir por cero.
 +*Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
 +*El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.
 +}}
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Reglas fundamentales|enunciado=
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Reglas "Sagradas" del Cálculo
 +|duracion=3'43"
 +|sinopsis=
 +Hay ciertas reglas en matemáticas que no se pueden violar. Estas reglas afectan a la hora de determinar el dominio de una función. Aquí las vamos a recordar:
-a) Observa en la escena las gráficas y di cuál de ellas es función y por qué no lo es la otra.+*Prohibido dividir por cero.
 +*Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
 +*El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.
 + 
 +AVISO: será inmisericordemente suspendido ipso facto todo el que viole una Regla Sagrada; caerán sobre él toneladas de desprestigio y deshonor, y el estigma de tan ignominioso acto apestará la honra de su linaje por los siglos de los siglos.
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/32-las-reglas-sagradas-del-calculo-5
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=De las funciones y de las serpientes
 +|duracion=9'01"
 +|sinopsis=Hay funciones que a la hora de trabajar con ellas no presentan ningún problema; otras sin embargo son realmente peligrosas.
 + 
 +En relación a los tres conceptos fundamentales del Cálculo (límite, continuidad y derivada de una función "f" en un punto "c"), y debido a las posibles violaciones de las tres Reglas Sagradas, las funciones son como las serpientes: las hay inofensivas y las hay peligrosas. Por eso, al trabajar con una función "f" en el punto "c", lo primero es invertir un par de segundos en analizar si "f" es o no peligrosa en "c". Naturalmente, si es peligrosa, pondremos todos nuestros sentidos en estado de máxima concentración y alerta, para así intentar evitar que nos mande al otro barrio.
 + 
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/33-de-las-funciones-y-las-serpientes
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=9 ejemplos de "serpientes" peligrosas... o no
 +|duracion=14'53"
 +|sinopsis=En este vídeo vemos ejemplos en los que analizamos la peligrosidad de trabajar (límite, continuidad, derivada) con una cierta función "f" en un cierto punto "c".
 + 
 +Todo se reduce a analizar si en "c" se viola alguna Regla Sagrada; a saber:
-Observa al mover el punto P cuántos puntos de corte tiene la recta azul con cada gráfica; si es más de uno no es una función.+*Prohibido dividir por cero.
 +*Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
 +*El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.
-<center><iframe>+|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/1-bachillerato/matematicas-de-primero-de-bachillerato/15-funciones-reales-de-variable-real/3301-nueve-ejemplos-5
-url=http://maralboran.org/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/funcion_1.html+
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-</iframe></center>+
-<center>[http://maralboran.org/web_ma/descartes/4a_eso/El_lenguaje_de_las_funciones/funcion_1.html '''Click''' aquí si no se ve bien la escena]</center>+
}} }}
}} }}
{{p}} {{p}}
-===Operaciones con funciones===+==Puntos de corte con los ejes de una función==
-{{Video_enlace2+{{Definicion: Puntos de corte con los ejes de una función}}
-|titulo1=Operaciones con funciones+{{p}}
-|duracion=4'03"+{{Videotutoriales|titulo=Puntos de corte con los ejes|enunciado=
-|sinopsis=+{{Video_enlace_clasematicas
-*Definición de las distintas operaciones que se pueden realizar con funciones. Ejemplos.+|titulo1=Tutorial 1
-|url1=http://www.matematicasbachiller.com/videos/cdiferencial/df_t_01/vdf0118.htm+|duracion=3'35"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=FaNynCkCmkc&index=7&list=PLZNmE9BEzVIkfJ32AmaQoob2npxScGpo3
 +|sinopsis=Tutorial en el que se explica el cálculo de los puntos de corte con los ejes de una función dada su gráfica.
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=3'57"
 +|sinopsis=Video tutorial de matematicasbachiller.com
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/03-continuidad-de-funciones/08-ceros-de-una-funcion#.WGOgj0Z9U6c
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 3
 +|duracion=15'54"
 +|sinopsis=Los puntos en que la gráfica de la función " f " toca al eje de abcisas son las soluciones de la ecuación f(x) = 0.
 +La gráfica de " f " corta al eje de ordenadas en f(0).
 + 
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/universidad/calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real/37-contacto-de-una-curva-con-los-ejes#.WGOf9UZ9U6c
 +}}
}} }}
{{p}} {{p}}
 +
 +==Signo de una función==
 +{{Definicion: signo de una funcion}}
 +{{p}}
 +El estudio del [[Las funciones y sus gráficas (3ºESO Académicas)#Signo de una función|signo de una función]] va a ser útil en la representación gráfica de funciones y en el estudio del dominio de funciones.
 +{{p}}
 +{{Videotutoriales|titulo=Signo de una función|enunciado=
 +{{Video_enlace_clasematicas
 +|titulo1=Tutorial 1
 +|duracion=6'34"
 +|url1=https://www.youtube.com/watch?v=qaOvRwNOIuk&index=9&list=PLZNmE9BEzVIkfJ32AmaQoob2npxScGpo3
 +|sinopsis=Tutorial en el que se explica el estudio del signo de una función dada su gráfica.
 +
 +Existe un error en el minuto 5:05 cuando se expresa los valores donde se alcanzan valores positivos, ya que el valor máximo que puede tomar la x es 6 y no infinito
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Tutorial 2
 +|duracion=5'39"
 +|sinopsis=A la hora de representar la gráfica de la función "f", el estudio del signo del número real f(x) nos permite conocer la posición de la gráfica respecto al eje de abcisas.
 +
 +*La gráfica está por encima del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es positivo.
 +*La gráfica está por debajo del eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) es negativo.
 +*La gráfica toca al eje de abcisas en los puntos "x" tales que f(x) = 0.
 +
 +El estudio del signo de una función también es útil cuando queremos determinar el dominio de una función.
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/34-signo-de-una-funcion-4#.WEqb-tLhCM8
 +}}
 +----
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 1
 +|duracion=5'45"
 +|sinopsis=2 ejercicios sobre el estudio del signo de una función
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/3401-dos-ejercicios-4#.WEqd2tLhCM8
 +}}
 +{{Video_enlace_fonemato
 +|titulo1=Ejercicio 2
 +|duracion=5'45"
 +|sinopsis=4 ejercicios sobre el estudio del signo de una función
 +|url1=http://matematicasbachiller.com/videos/2-bachillerato/introduccion-al-calculo-diferencial-de-una-variable/01-funciones-reales-de-una-variable-real-2/3402-cuatro-ejercicios-4#.WEqeQNLhCM8
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 +}}
 +{{p}}
 +
 +==Dominio e imagen de una función==
{{Dominio e imagen de una función (Bachiller)}} {{Dominio e imagen de una función (Bachiller)}}

Revisión actual

Tabla de contenidos

Concepto de función

Sean A y B conjuntos. Se llama función entre A y B a cualquier relación o correspondencia establecida entre los elementos de A y B de tal modo que a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

  • Si llamamos f\; a la función entre A y B, ésta podemos expresarla simbólicamente:

f: A \rightarrow B

  • Al conjunto A se le denomina dominio y al B codominio.
  • A un objeto o valor genérico del dominio A se le denomina variable independiente; y a un objeto genérico del codominio B, variable dependiente.
  • Sea x \in A\;, al elemento de B que se corresponda con x\; lo representaremos por f(x)\; y se leerá "imagen de x según f ". (Notación introducida por Euler en 1734)

Se pueden definir funciones entre cualquier tipo de conjuntos, pero las más interesantes son las que se establecen entre conjuntos de números. En este curso estudiaremos funciones definidas en el conjunto de los números reales: las funciones reales (el conjunto final es un subconjunto de los números reales) de variable real (el conjunto origen es un subconjunto de los números reales).

Función real de variable real

Una función real de variable real, f\;, es una correspondencia entre números reales que asocia a cada elemento x\; de un determinado subconjunto de números reales, Dom\;, llamado dominio, un único número real y\;. En tal caso decimos que "y\; es función de x\;" y lo representamos por y=f(x)\;.

Simbólicamente:

\begin{matrix} f \colon Dom \subset \mathbb{R} & \rightarrow & \mathbb{R} \ \qquad \quad  \\ \quad \ x & \rightarrow & y=f(x) \end{matrix}
  • A x\; se le llama la variable independiente y a y\; la variable dependiente.

Operaciones con funciones

Reglas fundamentales

En el estudio de una función (dominio, límites, continuidad, etc.) hay una serie de "reglas sagradas" que hay que tener muy presentes:

  • Prohibido dividir por cero.
  • Toda raíz de índice par de un número negativo no es un número real.
  • El logaritmo (en cualquier base) de un número no positivo no es un número real.

Puntos de corte con los ejes de una función

Los puntos de corte con los ejes de una función son los puntos de la gráfica que pertenecen a los ejes de coordenadas:

  • Puntos de corte con el eje de abscisas (eje X): Son aquellos puntos de la función en los que la variable dependiente, y\;, toma el valor cero.
  • Punto de corte con el eje de ordenadas (eje Y): Es aquel punto de la función en el que la variable independiente, x\;, toma el valor cero.

Signo de una función

  • Una función decimos que es positiva cuando la variable dependiente toma valores positivos y decimos que es negativa cuando toma valores negativos.
  • El estudio del signo de una función consistirá en determinar para qué valores de la variable independiente la función es positiva o negativa.

El estudio del signo de una función va a ser útil en la representación gráfica de funciones y en el estudio del dominio de funciones.

Dominio e imagen de una función

  • Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente x\;, se le llama dominio de definición de la función. Lo representaremos por D_f\; ó Dom_f\;
  • La imagen, rango o recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente y\;. Lo representaremos por Im_f\; o R_f\;.

Razones para restringir el dominio de una función:

  • Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de x\; que incumplan las quie hemos llamdo "reglas sagradas" del Cálculo. (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos, logaritmos de valores no positivos).
  • Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos).
  • Por voluntad de quien propone la función.

ejercicio

Ejemplo: Dominio de definición de una función


Halla el dominio de las funciones:
a) y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!
b) y=\cfrac{1}{x-1}
c) y=\sqrt{x}
d) y=ln\, (x^2-4)\;
e) A=l^2\; (Área de un cuadrado de lado l\;)

Simetrías de una función

  • Una función es par si cumple que: f(x)=f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f. En tal caso la gráfica es simétrica respecto del eje Y.
  • Una función es impar si cumple que: f(x)=-f(-x) \ , \forall \, x \in Dom_f. En tal caso la gráfica es simétrica respecto del origen.

Ejercicios propuestos

ejercicio

Ejercicios propuestos: Concepto de función y de dominio de una función


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Herramientas personales
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