Plantilla:Divisibilidad de polinomios

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{{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos|contenido= {{Ejemplo_simple|titulo=Ejemplos|contenido=
Son polinomios irreducibles, entre otros: Son polinomios irreducibles, entre otros:
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* Los de primer grado: <math>3x,\ x-3,\ 5x-3\ \;</math> * Los de primer grado: <math>3x,\ x-3,\ 5x-3\ \;</math>
* Los de segundo grado sin raíces: <math>x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \;</math> * Los de segundo grado sin raíces: <math>x^2+1,\ 2x^2-3x+5 \;</math>
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 +===Máximo común divisor y mínimo común múltiplo===
 +{{Caja_Amarilla|texto=Se dice que el polinomio <math>D(x)\;</math> es el '''máximo común divisor''' de los polinomios <math>P(x)\;</math> y <math>Q(x)\;</math>, y lo expresaremos:
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 +Dados los polinomios:
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 +si <math>D(x)\;</math> es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.
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 +Dados los polinomios:
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 +:<math>Q(x)=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;</math>:
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 +Su mínimo común múltiplo es:
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 +:<math>m.c.m \,[P(x), Q(x)]=(x-1)^3 (x-3)^2 (x+1)\;</math>
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Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio D(x)\; es el máximo común divisor de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;

si D(x)\; es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Se dice que el polinomio M(x)\; es el mínimo común múltiplo de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;

si D(x)\; es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

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