Plantilla:Dominio e imagen de una función

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Dominio e imagen de una función

El conjunto de valores de la variable independiente, $x\;$ , para los que hay un valor de la variable dependiente, $y\;$ , se llama dominio de definición de la función. Se denota $Dom_f\;$ .

El conjunto de valores que toma la variable independiente, $y\;$ , se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota $Im_f\;$ .
Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".

V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".

Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: $Dom_f=[0,100]\;$
Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: $Im_f=[0,200]\;$

Actividad Interactiva: Dominio e imagen

Actividad 1: Determina el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

Actividad:

a) Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X,¿Cuál es su dominio y su imagen?

b) Observa esta otra escena y procedede como antes:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

c) Haz lo mismo con esta tercera escena:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Razones para restringir el dominio de una función

Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de $x\;$ (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos,...)
Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos)
Por voluntad de quien propone la función.

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:

a) $y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!$

b) $y=\cfrac{1}{x-1}$

c) $y=\sqrt{x}$

d) $A=l^2\;$ (Área de un cuadrado de lado $l\;$ )

Solución:

a) Su dominio es $[-1,1]\;\!$ , por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de $x\;$ da un valor de $y\;$ válido.

b) Su dominio es $\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}$ , porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.

c) Su dominio es $\mathbb{R^+}$ , porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.

d) Su dominio es $(0, + \infty)$ , porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

Ejercicios: Dominio e imagen

1. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.
a)b)c)

Solución:

a) Es función. $D=[-3.5, 4]\;\!$ . $Im=[-4, 3]\;\!$ .

b) No es función.

c) No es función.

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\sqrt{x}$ .

b) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\frac{1}{x}$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Domain and range sqrt(x)

b) Domain and range 1/x

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Dominio_e_imagen_de_una_funci%C3%B3n"

 ==Dominio e imagen de una función==
-{{Caja_Amarilla|texto=
+{{Definición: Dominio e imagen}}
-*Al conjunto de los valores que puede tomar la variable independiente <math>x\;</math>, se le llama '''dominio de definición''' de la función. Lo representaremos por <math>D_f\;</math> ó <math>Dom_f\;</math>
-*La '''imagen''', '''rango''' o '''recorrido''' de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente <math>y\;</math>. Lo representaremos por <math>Im_f\;</math> o <math>R_f\;</math>.
-}}
 {{p}}
 {{AI2|titulo=Actividad Interactiva: ''Dominio e imagen''|cuerpo=
 {{ai_cuerpo

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Dominio e imagen de una función

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