Plantilla:Dominio e imagen de una función

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Dominio e imagen de una función

El conjunto de valores de la variable independiente, $x\;$ , para los que hay un valor de la variable dependiente, $y\;$ , se llama dominio de definición de la función. Se denota $Dom_f\;$ .

El conjunto de valores que toma la variable independiente, $y\;$ , se llama imagen, recorrido o rango de la función. Se denota $Im_f\;$ .
Si un punto (x,y) pertenece a la gráfica de la función entonces se dice que y es la imagen de x y también que x es la antiimagen de y.

Ejemplo:

"Un grifo vierte agua en un depósito de 200 litros de capacidad, a razón de 2 litros por segundo, hasta que se llena el depósito, momento en el cual se cierra el grifo."

t = "Tiempo que está abierto el grifo".

V = "Volumen de agua que se ha llenado el depósito".

Dominio: El tiempo que el grifo puede estar abierto es un número que varía entre 0 segundos y 100 segundos: $Dom_f=[0,100]\;$
Recorrido: El volumen de agua que se ha llenado el depósito es un número que varía ente 0 litros y 200 litros: $Im_f=[0,200]\;$

Dominio e imagen de una función

Tutorial (10'16") Sinopsis:

Tutorial en el que se explica el cálculo del dominio y la imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'11") Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'23") Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (1'26") Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'33") Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 5 (4'38") Sinopsis:

Estudio del dominio de una función a partir de su gráfica.

Halla la imagen de una función a partir de su gráfica:

Ejercicio 1 (1'24") Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 2 (1'20") Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 3 (0'53") Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Ejercicio 4 (1'34") Sinopsis:

Estudio del recorrido o imagen de una función a partir de su gráfica.

Halla el dominio de una función a partir de un enunciado:

Ejercicio 1 (2'19") Sinopsis:

Pati tiene una hermosa planta. La planta empezó a retoñar 2 días antes de que Pati la comprara, y la tuvo por 98 días antes de que muriera. La altura máxima que alcanzó a planta fue de 30 cm. Si denotamos por h(t) la altura de la planta en cm tras transcurrir t días desde el día de la compra, indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 2 (3'09") Sinopsis:

Thomas tiene 400 barras de caramelo en su tienda, y cada una cuesta $0.50. Sea p(b) el precio, medido en pesos ($), de la compra de b barras de caramelo. Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Ejercicio 3 (4'25") Sinopsis:

Mason está parado en el 5º escalón de una escalera vertical. La escalera tiene 15 escalones y la diferencia de altura entre escalones consecutivos es de 0.5 m. Él está pensando si sube, baja o se queda quieto. Sea h(n) la altura por encima del nivel del suelo de los pies de Mason (medido en metros) después de moverse n escalones (si Mason bajara n escalones , n es negativa). Indica qué conjunto numérico es el más adecuado para el dominio de la función: ¿los números enteros o los números reales?. Halla el dominio.

Imagen y antiimagen:

Ejercicio 1 (1'30") Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 2 (1'46") Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 3 (2'49") Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 4 (2'28") Sinopsis:

Cálculo de la imagen y de la antiimagen a partir de la gráfica de una función.

Ejercicio 5 (1'45") Sinopsis:

Dada la gráfica de la función g(x), halla la antiimagen de -2, es decir, el valor de x para el cual g(x) = -2.

Ejercicio 6 (2'18") Sinopsis:

Dada la gráfica de la función f(x), halla el valor de x, además de -5, para el cual f(x) = f(-5).

Ejercicio 7 (2'14") Sinopsis:

Dada la función f(t) = -2t + 5, halla la antiimagen de 13, es decir, el valor de t para el cual f(t) = 13.

Dominio e imagen de una función

Actividad 1a Descripción:

Actividades en las que aprenderás de forma visual los conceptos de dominio y recorrido de una función.

Actividad 2 Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

Suponiendo que la gráfica se comporta de forma análoga a lo largo de todo el eje X, ¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 3 Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 4 Descripción:

Observa la escena y mueve el punto P para ver los valores que recorren las variables:

¿Cuál es su dominio y su imagen?

Actividad 5 Descripción:

En esta escena podrás visualizar el dominio y la imagen de una función. Podrás elegir entre un tramo de recta (función lineal) o de parábola (función cuadrática).

Autoevaluación 1 Descripción:

Dominio y rango a partir de gráficas.

Autoevaluación 2 Descripción:

Dominio de una función dada por un enunciado.

Imagen y antiimagen:

Actividad Descripción:

Actividades con las que aprenderás los conceptos de imagen y antiimagen.

Autoevaluación 1 Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la gráfica de la función.

Autoevaluación 2 Descripción:

Halla la antiimagen utilizando la expresión analítica de la función.

Razones para restringir el dominio de una función

Imposibilidad de realizar alguna operación con ciertos valores de $x\;$ (Por ejemplo: denominadores que se anulan, radicandos que toman valores negativos,...)
Contexto en el que se estudia la función (Por ejemplo, una función que relaciona lado y área de una figura plana, no puede tomar valores negativos)
Por voluntad de quien propone la función.

Ejemplo: Dominio de definición de una función

Halla el dominio de las funciones:

a) $y=x-3 \ , \quad x \in [-1,1]\;\!$

b) $y=\cfrac{1}{x-1}$

c) $y=\sqrt{x}$

d) $A=l^2\;$ (Área de un cuadrado de lado $l\;$ )

Solución:

a) Su dominio es $[-1,1]\;\!$ , por voluntad del que ha definido la función, ya que, en principio, cualquier valor de $x\;$ da un valor de $y\;$ válido.

b) Su dominio es $\mathbb{R}- \left \{ 1 \right \}$ , porque el denominador no puede tomar el valor cero, ya que imposibilitaría hacer la división.

c) Su dominio es $\mathbb{R^+}$ , porque el radicando no puede ser negativo para poder hallar la raíz.

d) Su dominio es $(0, + \infty)$ , porque el lado de un cuadrado sólo puede tomar valores positivos

Ejercicios: Dominio e imagen

1. Indica cuál de las gráficas siguientes representan una función. En caso de ser función, indica su dominio y su imagen.
a)b)c)

Solución:

a) Es función. $D=[-3.5, 4]\;\!$ . $Im=[-4, 3]\;\!$ .

b) No es función.

c) No es función.

Actividad: Dominio e imagen de una función

a) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\sqrt{x}$ .

b) Obtén el dominio y la imagen de la función $y=\frac{1}{x}$ .

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) Domain and range sqrt(x)

b) Domain and range 1/x

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Dominio_e_imagen_de_una_funci%C3%B3n"

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