Plantilla:Ecuaciones con la x en el denominador
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| - | {{Caja_Amarilla|texto=Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. Se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador. De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver. | + | Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver. |
| En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas. | En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas. | ||
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| {{p}} | {{p}} | ||
| - | {{Ejemplo|titulo=Ejemplo: ''Ecuaciones con x en el denominador'' | + | {{Ejemplo|titulo=Ejercicio resuelto: ''Ecuaciones con x en el denominador'' |
| - | |enunciado=:Resuelve las ecuación: <math> \frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10} </math> | + | |enunciado=:Resuelve las ecuación: <math> \frac{6} {x}+ \frac{x+1} {x-2} = 6 </math> |
| - | |sol=El m.c.m. de los denominadores es <math>10x(x+3)\,\!</math>. Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen: | + | |sol=El m.c.m. de los denominadores es <math>x(x-2)\,\!</math>. Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m. (o equivalentemente, dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador). |
| - | :<math>10(x+3)-10x = 3x(x+3)\;</math> | + | :<math>6(x-2)+(x+1)x = 6x(x-2)\;</math> |
| - | Simplificamos la ecuación resultante: | + | Simplificamos: |
| - | :<math>10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0 | + | :<math>5x^2-19x+12=0 \; </math> |
| - | </math> | + | |
| Y la resolvemos: | Y la resolvemos: | ||
| - | :<math>x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2} | + | :<math>x = \frac{19 \pm \sqrt{361-240}} {10} = \frac{19 \pm 11} {10} \rightarrow \begin{cases}x_1=3 \\ x_2=\cfrac{4}{5} \end{cases} |
| </math> | </math> | ||
| - | Hay dos soluciones: <math>x=2\;</math> y <math>x=-5\;</math>. | + | Ambas soluciones, tras ser comprobadas en la ecuación inicial, resultan ser válidas. |
| - | Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial. | + | '''Soluciones:''' <math>x_1=3~,\ x_2=\cfrac{4}{5}</math> |
| - | + | ||
| - | '''Comprobación:''' | + | |
| - | + | ||
| - | :<math> \frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}</math> | + | |
| - | + | ||
| - | :<math> \frac{1} {-5}- \frac{1} {-2}= \frac{-1} {5}+ \frac{1} {2} = \frac{3} {10}</math> | + | |
| - | + | ||
| - | por lo que ambas soluciones resultan ser válidas. | + | |
| }} | }} | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| Línea 42: | Línea 32: | ||
| Resuelve las siguientes ecuaciones: | Resuelve las siguientes ecuaciones: | ||
| - | :<math>a)\ \frac{x+2}{x}+3x=\frac{5x+6}{2} \quad b)\ \frac{8}{x+6}+\frac{12-x}{x-6}=1 \quad c)\ \frac{3x+1}{x^3}+\frac{x+1}{x}=1+\frac{2x+3}{x^2} </math> | + | :a) <math>\frac{x+2}{x}+3x=\frac{5x+6}{2} </math> |
| + | |||
| + | :b) <math>\frac{8}{x+6}+\frac{12-x}{x-6}=1 </math> | ||
| + | |||
| + | :c) <math>\frac{3x+1}{x^3}+\frac{x+1}{x}=1+\frac{2x+3}{x^2} </math> | ||
| {{p}} | {{p}} | ||
| |sol= | |sol= | ||
Revisión de 17:22 29 ago 2016
Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores (se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador). De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.
En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.
Ejercicio resuelto: Ecuaciones con x en el denominador
- Resuelve las ecuación:
El m.c.m. de los denominadores es 
. Multiplicamos ambos miembros por el m.c.m. (o equivalentemente, dividimos el m.c.m. por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador).
Simplificamos:
Y la resolvemos:
Ambas soluciones, tras ser comprobadas en la ecuación inicial, resultan ser válidas.
Soluciones:
 Actividad: Ecuaciones con la x en el denominador Resuelve las siguientes ecuaciones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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