Plantilla:Ecuaciones con la x en el denominador

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Revisión de 14:15 29 ago 2016

Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. Se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador. De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos comprobar todas las posibles soluciones obtenidas.

Ejemplo: Ecuaciones con x en el denominador

Resuelve las ecuación: $\frac{1} {x}- \frac{1} {x+3} = \frac{3} {10}$

Solución:

El m.c.m. de los denominadores es $10x(x+3)\,\!$ . Lo dividimos por cada denominador y multiplicamos el resultado por el numerador, de manera que los denominadores desaparecen:

$10(x+3)-10x = 3x(x+3)\;$

Simplificamos la ecuación resultante:

$10x+30-10x = 3x^2+9x \rightarrow 3x^2+9x-30 = 0 \rightarrow x^2+3x-10 = 0$

Y la resolvemos:

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9+40}} {2} = \frac{-3 \pm 7} {2}$

Hay dos soluciones: $x=2\;$ y $x=-5\;$ . Ambas se deben comprobar en la ecuación inicial y resultan ser válidas:

$\frac{1} {2}- \frac{1} {5}= \frac{5-2} {10} = \frac{3} {10}$

$\frac{1} {-5}- \frac{1} {-2}= \frac{-1} {5}+ \frac{1} {2} = \frac{3} {10}$

Actividad: Ecuaciones con la x en el denominador

Resuelve las siguientes ecuaciones:

$a)\ \frac{x+2}{x}+3x=\frac{5x+6}{2} \quad b)\ \frac{8}{x+6}+\frac{12-x}{x-6}=1 \quad c)\ \frac{3x+1}{x^3}+\frac{x+1}{x}=1+\frac{2x+3}{x^2}$

Solución:

Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:

a) solve (x+2)/x+3x=(5x+6)/2 b) solve 8/(x+6)+(12-x)/(x-6)=1 c) solve (3x+1)/x^3+(x+1)/x=1+(2x+3)/x^2

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-	{{Caja_Amarilla\|texto=Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador, laspuedes resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, es decir, haciendo el '''mínimo común múltiplo de los denominadores'''. A continuación se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador, Esto se hace con los dos miembros de la ecuación.De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.	+	{{Caja_Amarilla\|texto=Las ecuaciones que tienen la incógnita en el denominador se pueden resolver de forma análoga a las que tienen números en el denominador, multiplicando los dos miembros de la ecuación por el m.c.m. de los denominadores. Se divide el m.c.m. entre cada denominador y se multiplica el resultado por su respectivo numerador. De esta forma desaparecen los denominadores y la ecuación resultante ya es más sencilla de resolver.

	En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas.		En estos procesos de multiplicar los miembros de la ecuación por polinomios, pueden aparecer soluciones falsas. Por tanto, al terminar, siempre debemos '''comprobar todas las posibles soluciones''' obtenidas.

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