Plantilla:Ecuaciones exponenciales

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(Diferencia entre revisiones)

Revisión de 09:09 11 oct 2018

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.

Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;$

b) $5^{x^2-5x+6}=1 \;$

c) $3^{1-x^2}=2\;$

d) $2^x+2^{x+1}=12\;$

Solución:

$3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:

$3^{1-x^2}=3^{-3}$

Como $a^x = a^y \iff x=y$ , los exponentes deben ser iguales:

$1-x^2=-3\;$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2$

Soluciones: $x_1=2 \, \ x_2=-2$

$5^{x^2-5x+6}=1 \;$

Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:

$5^{x^2-5x+6}=5^0 \;$

Como $a^x = a^y \iff x=y$ , los exponentes deben ser iguales:

$x^2-5x+6=0 \;$

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}$

Soluciones: $x_1=2 , \ x_2=3;$

$3^{1-x^2}=2\;$

Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:

$log \ 3^{1-x^2}= log \ 2$

Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:

$(1-x^2) \ log \ 3= log \ 2$

Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:

$1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075$

Soluciones: $x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075$

$2^x+2^{x+1}=12\;$

Haciendo el cambio de variable:

$2^x=y \;$

tenemos que:

$2^{x+1}=2^x \cdot 2^1 = 2y \;$

Y la ecuación de partida queda:

$y+2y=12\;$

Resolvemos la ecuación de primer grado:

$3y=12 \rightarrow y = 4 \;$

Y deshacemos el cambio de variable:

$y=4 \rightarrow 2^x=4 \rightarrow x = 2 \;$

Solución: $x=2 \;$

Ecuaciones exponenciales

Tutorial (22'26") Sinopsis:

Tutorial que trabaja las ecuaciones exponenciales, desde muy sencillas, en donde únicamente se utilizan las propiedades básicas de las potencias, hasta otras más completas en donde es necesario realizar un cambio de variable.

00:00 a 01:15: Introducción y propiedad.
01:15 a 07:00: Ejercicios básicos, resolubles con las propiedades de las potencias.
07:00 a 11:55: Ejercicios de ecuaciones exponenciales usando el cambio de variable (primer grado).
11:55 a 22:26: Ejercicios de ecuaciones exponenciales usando el cambio de variable (segundo grado).

Ejercicio 1 (6'30") Sinopsis:

Resuelve:

a) $4^{2x-5}=64\;$

b) $7^{3-x}=5^{x+1}\;$

Ejercicio 2 (5'01") Sinopsis:

Resuelve:

$8^{x+2} \cdot 4^{x-6} =16\;$

Ejercicio 3 (7'29") Sinopsis:

Resuelve:

$12^{x-2} = 4^x\;$

Ejercicio 4 (6'39") Sinopsis:

Resuelve:

$9^x \cdot \left( \frac{1}{3} \right) ^{x+2} = 27 \cdot (3^x)^{-2}\;$

Ejercicio 5 (6'23") Sinopsis:

Resuelve:

$3^{2x} + 9=10\cdot 3^x\;$

Ejercicio 6 (10'27") Sinopsis:

Resuelve:

$2^{2x+2} = 9 \cdot 2^x -2\;$

Ejercicio 7 (8'47") Sinopsis:

Resuelve:

$\left( \frac{4}{10} \right) ^{x-1} = \left( \frac{625}{100} \right) ^{6x-5}\;$