Plantilla:Ecuaciones exponenciales
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{{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Ecuaciones exponenciales'' | {{Ejemplo|titulo=Ejercicios resueltos: ''Ecuaciones exponenciales'' | ||
- | |enunciado=:Resuelve las siguientes ecuaciónes: | + | |enunciado=Resuelve las siguientes ecuaciónes: |
- | ::a) <math>3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;</math> | + | :a) <math>3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;</math> |
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'''a)''' | '''a)''' | ||
<center><math> 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;</math></center> | <center><math> 3^{1-x^2}=\cfrac{1}{27}\;</math></center> | ||
- | :Expresamos el segundo miembro como potencia de 2: | + | Expresamos el segundo miembro como potencia de 2: |
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- | :Como <math>a^x = a^y \iff x=y</math>, los exponentes deben ser iguales: | + | Como <math>a^x = a^y \iff x=y</math>, los exponentes deben ser iguales: |
<center><math>1-x^2=-3\;</math></center> | <center><math>1-x^2=-3\;</math></center> | ||
- | :Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta: | + | Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta: |
<center><math>x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2</math></center> | <center><math>x^2=4 \ \rightarrow \ x=\pm 2</math></center> | ||
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- | :'''''Soluciones:''''' <math>x_1=2 \, \ x_2=-2</math> | + | '''''Soluciones:''''' <math>x_1=2 \, \ x_2=-2</math> |
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<center><math>5^{x^2-5x+6}=1 \;</math></center> | <center><math>5^{x^2-5x+6}=1 \;</math></center> | ||
- | :Expresamos el segundo miembro como potencia de 5: | + | Expresamos el segundo miembro como potencia de 5: |
<center><math>5^{x^2-5x+6}=5^0 \;</math></center> | <center><math>5^{x^2-5x+6}=5^0 \;</math></center> | ||
- | :Como <math>a^x = a^y \iff x=y</math>, los exponentes deben ser iguales: | + | Como <math>a^x = a^y \iff x=y</math>, los exponentes deben ser iguales: |
<center><math>x^2-5x+6=0 \;</math></center> | <center><math>x^2-5x+6=0 \;</math></center> | ||
- | :Resolvemos la ecuación de segundo grado: | + | Resolvemos la ecuación de segundo grado: |
<center><math>x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}</math></center> | <center><math>x = \frac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2}= \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=3 \end{cases}</math></center> | ||
- | :'''''Soluciones:''''' <math>x_1=2 , \ x_2=3;</math> | + | '''''Soluciones:''''' <math>x_1=2 , \ x_2=3;</math> |
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'''c)''' | '''c)''' | ||
<center><math> 3^{1-x^2}=2\;</math></center> | <center><math> 3^{1-x^2}=2\;</math></center> | ||
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- | :Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación: | + | Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación: |
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<center><math>log \ 3^{1-x^2}= log \ 2</math></center> | <center><math>log \ 3^{1-x^2}= log \ 2</math></center> | ||
- | :Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia: | + | Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia: |
<center><math>(1-x^2) \ log \ 3= log \ 2 </math></center> | <center><math>(1-x^2) \ log \ 3= log \ 2 </math></center> | ||
- | :Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta: | + | Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta: |
<center><math>1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075 </math></center> | <center><math>1-x^2= \cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow x^2=1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3} \rightarrow \ x=\pm \sqrt{1-\cfrac{log \ 2}{log \ 3}} \approx \pm 0.6075 </math></center> | ||
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- | :'''''Soluciones:''''' <math>x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075</math> | + | '''''Soluciones:''''' <math>x_1 \approx 0.6075 \, \ x_2 \approx -0.6075</math> |
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<center><math>2^x+2^{x+1}=12\;</math></center> | <center><math>2^x+2^{x+1}=12\;</math></center> | ||
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- | :Haciendo el cambio de variable: | + | Haciendo el cambio de variable: |
<center><math>2^x=y \;</math></center> | <center><math>2^x=y \;</math></center> | ||
- | :tenemos que: | + | tenemos que: |
<center><math>2^{x+1}=2^x \cdot 2^1 = 2y \;</math></center> | <center><math>2^{x+1}=2^x \cdot 2^1 = 2y \;</math></center> | ||
- | :Y la ecuación de partida queda: | + | Y la ecuación de partida queda: |
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<center><math>y+2y=12\;</math></center> | <center><math>y+2y=12\;</math></center> | ||
- | :Resolvemos la ecuación de primer grado: | + | Resolvemos la ecuación de primer grado: |
<center><math>3y=12 \rightarrow y = 4 \;</math></center> | <center><math>3y=12 \rightarrow y = 4 \;</math></center> | ||
- | :Y deshacemos el cambio de variable: | + | Y deshacemos el cambio de variable: |
<center><math>y=4 \rightarrow 2^x=4 \rightarrow x = 2 \;</math></center> | <center><math>y=4 \rightarrow 2^x=4 \rightarrow x = 2 \;</math></center> | ||
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|enunciado= | |enunciado= | ||
- | :Resuelve las siguientes ecuaciones: | + | Resuelve las siguientes ecuaciones: |
- | ::a) <math>3^x=\sqrt[3]{9} \;</math> | + | :a) <math>3^x=\sqrt[3]{9} \;</math> |
- | ::b) <math>2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0 \;</math> | + | :b) <math>2^{2x}-5\cdot 2^x+4=0 \;</math> |
- | ::c) <math>9^x-3^x-6=0 \;</math> | + | :c) <math>9^x-3^x-6=0 \;</math> |
{{p}} | {{p}} | ||
|sol= | |sol= |
Revisión de 12:17 18 sep 2016
Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece como exponente.
Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de las potencias y también puede ser necesario usar logaritmos.
Ejercicios resueltos: Ecuaciones exponenciales
Resuelve las siguientes ecuaciónes:
- a)
- b)
- c)
- d)
a)
Expresamos el segundo miembro como potencia de 2:
Como , los exponentes deben ser iguales:
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
Soluciones:
b)
Expresamos el segundo miembro como potencia de 5:
Como , los exponentes deben ser iguales:
Resolvemos la ecuación de segundo grado:
Soluciones:
c)
Como el segundo miembro no podemos expresarlo como potencia de base 3, tomaremos logaritmos en ambos lados de la ecuación:
Aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia:
Y resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta:
Soluciones:
d)
Haciendo el cambio de variable:
tenemos que:
Y la ecuación de partida queda:
Resolvemos la ecuación de primer grado:
Y deshacemos el cambio de variable:
- Solución:
Actividad: Ecuaciones exponenciales Resuelve las siguientes ecuaciones:
Solución: Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
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