Plantilla:Ecuaciones logaritmicas

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Revisión de 17:41 9 sep 2016

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:

a) $log \ x + log \ 50 = 3$

b) $5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32$

c) $2\, log \ x= log \ (10-3x)$

Solución:

$log \ x + log \ 50 = 3$

Teniendo en cuenta que $log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B)$ y que $3 = log \ 1000$ , tenemos:

$log \ (50x) = log \ 1000$

Y teniendo en cuenta que $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$50x=1000 \ \rightarrow \ x=20$

La solución se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.

Solución: $x=20\;$

$5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32$

Teniendo en cuenta que $log_a \ B^n = n \ log_a \ B$ y que $32=2^5\;$ :

$log_2 \ (x+3)^5= log_2 \ 2^5$

Como $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$(x+3)^5= 2^5\;$

Y, como $a^x = b^x \iff a=b$

$x+3= 2 \ \rightarrow \ x=-1$

Se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.

Solución: $x=-1\;$

$2\, log \ x= log \ (10-3x)$

Teniendo en cuenta que $log_a \ B^n = n \ log_a \ B$ , tenemos:

$log \ x^2= log \ (10-3x)$

Como $log \ A = log \ B \iff A=B$ , se tiene:

$x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}$

De las dos soluciones, $x_2=-5\;$ no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, $log \ x\;$ no se puede calcular para $x=-5\;$ (El logaritmo de un número negativo no existe).