Plantilla:Ecuaciones logaritmicas

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'''a)''' <math>log \ x + log \ 50 = 3</math> '''a)''' <math>log \ x + log \ 50 = 3</math>
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-Teniendo en cuenta que:+::<math>log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B)</math>
 +::<math>3 = log \ 1000</math>
-*<math>log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B)</math>+:tenemos:
-*<math>3 = log \ 1000</math>+
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-Y teniendo en cuenta que <math>log \ A = log \ B \iff A=B</math>, se tiene:+<center><math>50x=1000 \ \rightarrow \ x=20</math></center>
-:<math>50x=1000 \ \rightarrow \ x=20</math>+:La solución se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.
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-Se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.+
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'''b)''' <math>5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32</math> '''b)''' <math>5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32</math>
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 +:Teniendo en cuenta que:
-Teniendo en cuenta que:+::<math>log_a \ B^n = n \ log_a \ B</math>
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 +:Como <math>log \ A = log \ B \iff A=B</math>, se tiene:
-Como <math>log \ A = log \ B \iff A=B</math>, se tiene:+<center><math>(x+3)^5= 2^5\;</math></center>
-:<math>(x+3)^5= 2^5\;</math>+:Y, como <math>a^x = b^x \iff a=b</math>
-Y, como <math>a^x = b^x \iff a=b</math>+<center><math>x+3= 2 \ \rightarrow \ x=-1</math></center>
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 +:Teniendo en cuenta que:
-Teniendo en cuenta que <math>log_a \ B^n = n \ log_a \ B</math>, tenemos:+::<math>log_a \ B^n = n \ log_a \ B</math>, tenemos:
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-Como <math>log \ A = log \ B \iff A=B</math>, se tiene:+:Como <math>log \ A = log \ B \iff A=B</math>, se tiene:
-:<math>x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}</math>+<center><math>x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}</math></center>
-De las dos soluciones, <math>x_2=-5\;</math> no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, <math>log \ x\;</math> no se puede calcular para <math>x=-5\;</math> (El logaritmo de un número negativo no existe).+:De las dos soluciones, <math>x_2=-5\;</math> no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, <math>log \ x\;</math> no se puede calcular para <math>x=-5\;</math> (El logaritmo de un número negativo no existe).
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-'''''Solución:''''' <math>x=2\;</math>+:'''''Solución:''''' <math>x=2\;</math>
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Revisión de 09:21 30 ago 2016

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece como parte de un logaritmo.

Para su resolución hay que tener en cuenta las propiedades de los logaritmos.

Se deben comprobar siempre las soluciones en la ecuación de partida pues pueden obtenerse soluciones que no sean válidas, como puede verse en el ejemplo c) siguiente.

ejercicio

Ejemplos: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciónes:
a) log \ x + log \ 50 = 3
b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32
c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)
Solución:

a) log \ x + log \ 50 = 3

Teniendo en cuenta que:
log \ A + log \ B = log \ (A \cdot B)
3 = log \ 1000
tenemos:
log \ x + log \ 50 = 3 \ \rightarrow \ log \ (50x) = log \ 1000


Y teniendo en cuenta que log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:
50x=1000 \ \rightarrow \ x=20
La solución se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.


Solución: x=20\;

b) 5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32

Teniendo en cuenta que:
log_a \ B^n = n \ log_a \ B
32=2^5\;
tenemos:
5\, log_2 \ (x+3)= log_2 \ 32 \ \rightarrow \ log_2 \ (x+3)^5= log_2 \ 2^5


Como log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:
(x+3)^5= 2^5\;
Y, como a^x = b^x \iff a=b
x+3= 2 \ \rightarrow \ x=-1
Se comprueba en la ecuación de partida y resulta ser válida.
Solución: x=-1\;

c) 2\, log \ x= log \ (10-3x)

Teniendo en cuenta que:
log_a \ B^n = n \ log_a \ B, tenemos:
2\, log \ x= log \ (10-3x) \ \rightarrow \ log \ x^2= log \ (10-3x)


Como log \ A = log \ B \iff A=B, se tiene:
x^2= 10-3x \ \rightarrow \ x^2+3x-10=0 \ \rightarrow \ \begin{cases} x_1=2 \\ x_2=-5 \end{cases}
De las dos soluciones, x_2=-5\; no es válida, porque al comprobarla en la ecuación de partida, log \ x\; no se puede calcular para x=-5\; (El logaritmo de un número negativo no existe).


Solución: x=2\;

Videotutoriales sobre ecuaciones logarítmicas

2 ejercicios (6´39")     Sinopsis:

Videotutorial

2 ejercicios (8´55")     Sinopsis:

Videotutorial

2 ejercicios (5´56")     Sinopsis:

Videotutorial

3 ejercicios (7´29")     Sinopsis:

Videotutorial

wolfram

Actividad: Ecuaciones logarítmicas

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)\ ln(x-3)+ln(x+1)=ln\,3+ln(x-1) \quad b)\ 2(log\,x)^2+7log\,x-9=0

Solución:
Para averiguar las soluciones debes escribir donde pone "Escribe tu consulta" las siguientes expresiones:
a) solve loge(x-3)+loge(x+1)=loge(3)+loge(x-1) over the reals      b) solve 2*(log10(x))^2+7*log10(x)-9=0

Nota: En WolframAlpha log y loge simbolizan el logaritmo neperiano mientras que el logaritmo decimal es log10.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Ecuaciones_logaritmicas"
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