Plantilla:Esfera

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Área:

$A=4 \pi r^2 \;\!$

Volumen:

$V=\cfrac{4}{3} \cdot \pi r^3$

Elementos:

$r\;\!$ : radio.

Volúmen y área de la esfera Descripción:

En esta escena podrás calcular el volumen y área de un balón de futbol.

La esfera, su área y su volumen

Tutorial 1 (15'22") Sinopsis:

La esfera:

Definición.
Elementos
Área y volumen.
Ejercicio.

Tutorial 2 (4'09") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen ocupado por una esfera de radio r. Ejemplos.

Tutorial 3 (3'51") Sinopsis:

Cálculo del área total y el volumen ocupado por una esfera de radio r. Ejemplos.

Problema 1 (2'36") Sinopsis:

Halla el volumen y el área de una esfera de diámetro 10 cm.

Problema 2 (1´50") Sinopsis:

Halla el radio de una esfera que tiene un volumen de 113.04 cm³.

Teorema

El volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circunscrito a ella.

Demostración:

El cálculo del volumen de la esfera fue uno de los descubrimientos que Arquímedes más estimaba de todos los que hizo en su vida. Llegó a demostrar de un modo muy original que el volumen de la esfera es igual a dos tercios del volumen del cilindro circular circunscrito a ella. Tanto le impresionó esto a él mismo que mandó que en su tumba se grabase esta figura en recuerdo de la mejor de sus ideas.

La siguiente no es una demostración rigurosa, sino intuitiva. Vamos a ver cómo llegó hasta ahí. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular recto y un cono recto, ambos de base igual a un círculo máximo de la semiesfera:

Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y cono y se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono. En el cilindro es un círculo de radio R. En la esfera también será un círculo, pero su radio dependerá de la distancia d. Mirando la figura y acordándote del teorema de Pitágoras, fácilmente puedes escribir que si el radio de la sección es r, entonces

$r^2+d^2=R^2\;$

En el cono la sección también será un círculo y ahora el radio es aún más fácil de determinar (como el radio de apertura del cono es de 45º, resulta que el radio es d).

$Secci\acute{o}n\,_{Cilindro}=\pi R^2=\pi (r^2+d^2)=\pi r^2 + \pi d^2 = Secci\acute{o}n\,_{Esfera}+Secci\acute{o}n\,_{Cono}\;$

Las secciones son como rebanadas de las tres figuras obtenidas cortando paralelamente a la base del cilindro. Resulta que, colocando las tres figuras como las hemos puesto y cortándolas en rebanadas finas

$Rebanada \ de \ cilindro = Rebanada \ de \ semiesfera + Rebanada \ de \ cono\;$ (a la misma altura)

Si para cada altura se tiene esta relación, parece bastante claro que:

$V_{cilindro} = V_{semiesfera} + V_{cono}\;$

Pero como:

$V_{cilindro} = \pi R^3 \qquad y \qquad V_{cono}= \cfrac{1}{3} \pi R^3$

resulta:

$V_{semiesfera} = \cfrac{2}{3} \pi R^3 \ \rightarrow \ V_{esfera} = \cfrac{4}{3} \pi R^3$

Corolario

El volumen de la semiesfera más el volumen de cono inscrito en ella es igual al volumen del cilindro circunscrito a ella.

$V_{cilindro} = V_{semiesfera} + V_{cono}\;$

Demostración:

Se ha visto en la demostración del teorema anterior

Relación entre los volúmenes de la esfera, el cono y el cilindro Descripción:

En esta escena podrás comprobar la relación que existe entre los volúmenes de la esfera, el cono y el cilindro.

Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Esfera"

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+La siguiente no es una demostración rigurosa, sino intuitiva. Vamos a ver cómo llegó hasta ahí. Arquímedes se imaginó una semiesfera y junto a ella un cilindro circular recto y un cono recto, ambos de base igual a un círculo máximo de la semiesfera:
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+Arquímedes cortó las tres figuras por un plano paralelo a la base del cilindro y cono y se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en cilindro, semiesfera y cono.
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