Plantilla:Estudio del crecimiento y de los puntos singulares

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Revisión de 09:57 29 mar 2020

ejercicio

Procedimiento

Para estudiar el crecimiento de una función deberemos estudiar el signo de la función derivada:

  • En aquellos puntos donde la derivada sea positiva la función será creciente.
  • En aquellos puntos donde la derivada sea negativa la función será decreciente.

video
Estudio del crecimiento
Tutorial 3a (13'02")     Sinopsis:

Funciones crecientes y decrecientes

Tutorial 3b (7'19")     Sinopsis:

Criterios de crecimiento y decrecimiento

Ejercicio 1a (2'55")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=2x+1\;

Ejercicio 1b (4'01")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=x^2+2x-3\;

Ejercicio 1c (8'31")     Sinopsis:

Estudia el crecimiento de f(x)=\cfrac{x-1}{x^2}\;

Ejercicio 2 (3'10")     Sinopsis:

Demuestra que f(x)=e^{-tg \, \pi \cdot (x-\frac{1}{2})} es positiva y decreciente en el intervalo (0,1).

Se llaman puntos singulares de una función a los puntos en los que la derivada vale cero. Son puntos de tangente horizontal.

Esos puntos pueden ser puntos extremos (máximos o mínimos), pero también pueden no serlo. Para determinar qué son, deberemos estudiar el crecimiento de la función.

video
Extremos de una función
Determinación de los extremos relativos (13'46")     Sinopsis:
Determinación de máximos y mínimos absolutos (14'45")     Sinopsis:
Ejercicio 1 (4'58")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^2-3x+2\;

Ejercicio 2 (8'11")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^3-6x^2+9x\;

Ejercicio 3 (9'43")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=\cfrac{2}{x^2-x}\;

Ejercicio 4 (7'52")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x+\sqrt{1-x}\;

Ejercicio 5 (7'02")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x+\cfrac{4}{x}\;

Ejercicio 6 (6'49")     Sinopsis:

Halla los máximos y mínimos de f(x)=x^3-3x+2\;

Ejercicio 7 (7'42")     Sinopsis:

Encuentra el valor de "k" tal que f(x)=x+\cfrac{k}{x}\; tenga un máximo local en x=-2.

ejercicio

Ejercicio resuelto: Puntos singulares y crecimiento

Dada la función f(x)=x^3-6x^2+9x+2\;, halla sus puntos singulares y estudia su crecimiento.

Solución:

f'(x)=3x^2-12x+9\;

Puntos singulares:

f'(x)=0 \iff 3x^2-12x+9=0 \iff x=\begin{cases} x_1= 1 \\ x_2=3 \end{cases}

Para estudiar el crecimiento determinaremos el signo de la función derivada mediante una tabla en la que estableceremos zonas delimitadas por los puntos singulares y por los puntos de discontinuidad, si los hubiese. En nuestro caso hay 3 zonas porque hay 2 puntos singulares y no hay discontinuidades, por tratarse f'(x) de una función polinómica. 

             -inf     1       3    +inf       
          -----!------!-------!------!
          f'(x)!  +   !   -   !  +   !
          -----!------!-------!------!
           f(x)! Cre  ! Decre ! Cre  !
          ----------------------------
Como f(1)=6 y f(3)=2, el anterior análisis del crecimiento nos permite determinar que (1,6) es un máximo y (3,2) es un mínimo.
Obtenido de "http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Plantilla:Estudio_del_crecimiento_y_de_los_puntos_singulares"
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