Plantilla:Factorización de polinomios (1ºBach)

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===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2=== ===Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2===
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Tabla de contenidos

Divisibilidad de polinomios

(pág. 74)

Polinomios múltiplos y divisores

  • Un polinomio Q(x)\, es divisor de otro, P(x)\, y lo representaremos por Q(x)|P(x)\;, si la división P(x):\,Q(x)\, es exacta, es decir, cuando existe otro polinomio C(x)\; tal que P(x)=\,Q(x)\cdot C(x)\,.
  • En tal caso, diremos que P(x)\, es divisible por Q(x)\, y que P(x)\, es un múltiplo de Q(x)\,.
  • También diremos que Q(x)\, y C(x)\, son factores del polnomio P(x)\,.

La divisibilidad de polinomios es semejante a la divisibilidad con números enteros. Asimismo, la factorización de polinomios equivale a la descomposición de un número en factores primos, y los conceptos de máximo común divisor, mínimo común múltiplo e irreducibilidad son similares a los correspondientes conceptos numéricos.

Polinomios irreducibles

Un polinomio P(x)\, es irreducible cuando ningún polinomio de grado inferior (distinto de grado cero) es divisor suyo.

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo

Se dice que el polinomio D(x)\; es el máximo común divisor de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.d \,[P(x), Q(x)]=D(x)\;

si D(x)\; es divisor de ambos y no existe otro polinomio que divida a ambos que tenga mayor grado que él.

Se dice que el polinomio M(x)\; es el mínimo común múltiplo de los polinomios P(x)\; y Q(x)\;, y lo expresaremos:

m.c.m \,[P(x), Q(x)]=M(x)\;

si D(x)\; es múltiplo de ambos y no existe otro polinomio que sea múltiplo de ambos que tenga menor grado que él.

Factorización de polinomios

Factorizar un polinomio es descomponerlo en producto de polinomios con el menor grado posible.

Factorización de polinomios de grado 2

ejercicio

Factorización de polinomios de segundo grado


Un polinomio de segundo grado, kx^2+mx+n\;, con raíces rales, a\; y b\;, se puede factorizar de la forma

k(x-a)(x-b)\;

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios de segundo grado y reducibles


Factoriza los siguientes polinomios

a) 5x^2+5x-60\;
b) 5x^3+5x^2-60x\;

wolfram

Actividad: Factorización de polinomios de grado 2


Factoriza los siguientes polinomios de grado 2 o reducibles a grado 2:

a)\ 4x^2+4x+1 \;
b)\ x^2+x+1 \;
c)\ x^2-16x \;
d)\ 4x^2-25 \;
e)\ 5x^2+20 \;
f)\ 4x^4+x^2

Procedimientos para la factorización de polinomios de grado mayor que 2

(pág. 75)

  • Siempre que se pueda, sacaremos x\; factor común.
  • Mediante la regla de Ruffini buscaremos las raíces enteras del polinomio, que se hallan entre los divisores del término independiente.
  • También podemos buscar las raíces fraccionarias, que se encontrarían entre las fracciones formadas dividiendo los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.
  • Si encontramos una raíz x=a\; de un polinomio P(x)\;, tendremos que P(x)=(x-a) \cdot Q(x)\;, donde Q(x)\; tiene un grado menos que P(x)\;. (Ver raíces de un polinomio).

Un polinomio de grado mayor que 2 no pueda factorizarse usando los procedimientos anteriores, es poco probable que podamos hacerlo con los conocimientos que tenemos.

En algunos casos, como en el de los polinomios bicuadrados, que son polinomios de la forma ax^4+bx^2+c\;, si podremos hallarle las raices, resolviendo la ecuación bicuadrada que resulta de igualarlo a cero.

ejercicio

Ejemplos: Factorización de polinomios bicuadrados


Factoriza el siguiente polinomio: P(x)=x^4 - 7x^2 + 6 \;\!

wolfram

Actividad: Factorización de polinomios bicuadrados


a) Factoriza el polinomio P(x)=x^4-5x^2+4\;
b) Halla las raíces del polinomio Q(x)=x^4-1\; y factorízalo.

Factorización de un polinomio mediante la regla de Ruffini

ejercicio

Factorización de un polinomio por Ruffini


Para factorizar un polinomio mediante la regla de Ruffini, aplicaremos ésta sucesivamente, utilizando como candidatos a raíces enteras, los divisores del término independiente y como candidatos a raices fraccionarias, las que resultan de dividir los divisores del término independiente entre los divisores del término de mayor grado.



ejercicio

Ejemplo: Regla de Ruffini


Factoriza el siguiente polinomio:

P(x)=3x^6-3x^5-117x^4+327x^3-210x^2\,\!

Ejercicios

(pág. 71)

ejercicio

Ejercicios propuestos: Factorización de polinomios


1.Factoriza los siguientes polinomios:
a) x^6-9x^5+24x^4-20x^3\;.
b) x^6-3x^5-3x^4-5x^3+2x^2+8x\;.
c) x^6+6x^5+9x^4-x^2-6x-9\;.
2.Intenta factorizar el polinomio x^4+4x^3+8x^2+7x+4\;
a) Por Ruffini.
b) Haciendo la división, sabiendo que es divisible por x^2+x+1\;
3.Intenta factorizar el polinomio 6x^4+7x^3+6x^2-1\;
a) Por Ruffini, probando con las raíces enteras.
b) Por Ruffini, pero sabiendo que -1/2 y 1/3 son raíces suyas.

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